Olá Marcio, Estive ontem de noite acompanhando a movimentação no Twitter e MathOverFlow sobre o paper,
A crítica principal é que a teoria Flow não teria sido mostrada consistente, Qual é a posição dos autores sobre isso ? Até mais, []s Samuel ----- Mensagem original ----- De: Valeria de Paiva <[email protected]> Para: Márcio Palmares <[email protected]> Cc: Samuel Gomes da Silva <[email protected]>, LOGICA-L <[email protected]> Enviadas: Sat, 10 Oct 2020 13:31:19 -0300 (BRT) Assunto: Re: Teoria Flow: o princípio da partição não implica o axioma de escolha obrigada pela motivacao meio quaternionica, Marcio! sempre ajuda, abs Valeria On Sat, Oct 10, 2020 at 7:56 AM Márcio Palmares <[email protected]> wrote: > Oi Valeria, > > Verdade... Acho que você tem razão... Existem muitos 'foundational > frameworks', e apenas a seleção natural define quais prosperam, por sua > melhor adaptação para a resolução de problemas em áreas específicas. Quando > mostramos uma versão preliminar desse trabalho para o Jean-Pierre Marquis, > ele se mostrou entusiasmado, talvez porque o sistema pudesse lançar uma > nova luz sobre o velho debate "Feferman vs. categoristas de todo o mundo", > uma vez que Flow mostra mais uma vez a primazia das funções diante dos > conjuntos... Naquela ocasião Jean-Pierre Marquis chamou nossa atenção para > as "Autocategories", de René Guitart, e à medida em que o trabalho foi > prosseguindo, descobrimos outros sistemas. De fato, se Flow não tivesse > mudado a forma como olhamos para certos problemas, e não tivesse levado > Adonai à solução do problema do Princípio da Partição, seria muito difícil > justificar sua existência num meio já bastante povoado por sistemas > fundacionais... > > Bem, seja como for, elaborei uma pequena tentativa de "motivação", para > que os possíveis interessados possam compreender melhor (de um ponto de > vista intuitivo) os axiomas e construções iniciais de Flow. > > O ponto de partida é o teorema de Cayley, a relação existente entre > operações binárias associativas e a representação dessas estruturas usando > funções e composição de funções. Por exemplo, consideremos os inteiros > módulo quatro {0, 1, 2, 3} sob a multiplicação módulo quatro. Temos assim > um conjunto equipado com uma operação binária associativa, a multiplicação. > Neste caso, trata-se de um monoide, pois temos um elemento neutro. O > teorema de Cayley nos diz então que essa estrutura é isomorfa ao monoide > das funções f_0, f_1, f_2, f_3, sob a composição, definidas da maneira > usual; f_2, por exemplo, é definida como f_2(x) = 2x, com x no conjunto {0, > 1, 2, 3}. > > Então, elementos de estruturas binárias associativas podem ser > "transformados" em funções, ou "interpretados" como funções. > > Consideremos agora um caso mais geral, de uma operação binária > não-associativa, definida no conjunto {0, 1, 2, 3}. Agora, porém, os > símbolos 0, 1, 2 e 3 não devem ser interpretados como "inteiros módulo > quatro", são apenas símbolos. Nossa operação binária será não-associativa; > não-comutativa; idempotente, isto é, 0*0=0, 1*1=1, 2*2=2 e 3*3=3; terá um > elemento 0 bilateral (absorvente dos dois lados): 0*x=x*0=0; e um elemento > neutro 1 à esquerda: 1*x=x. > > Poderíamos desenhar uma tabela para essa operação. Os valores não listados > acima, para completar a tabela, seriam: 2*1=3*1=0; 2*3=0 e 3*2=2. Esses > valores são arbitrários. Apenas as propriedades de 1, como neutro à > esquerda, 0 como absorvente bilateral, e a idempotência são predefinidos. > > Como a operação não é associativa, não vale o teorema de Cayley, e a > estrutura formada com as funções sob a composição não será, em geral, > isomorfa à estrutura original. Mas não faz mal. Isso não é um problema para > nós, porque não estamos perseguindo este isomorfismo. Só queremos > representar os elementos da estrutura como funções. Cada função será então > um "endomorfismo" no conjunto {0, 1, 2, 3}, e poderá ser representada pelos > típicos "diagramas internos de endomorfismos". > > Agora vem o "pulo do gato": o que aconteceria se considerássemos, neste > exemplo, a operação binária * como uma "função aplicação", ou "função > avaliação", ou "evaluation map", isto é, suponhamos que, em vez de escrever > 2*3=0 escrevêssemos 2(3)=0, e imaginássemos que 0, 1, 2 e 3 são eles > próprios as funções, cujo comportamento é descrito em termos dessa > avaliação ou aplicação? O resultado seria um pequeno universo de quatro > termos, 0, 1, 2 e 3, que operam uns sobre os outros livremente, produzindo > termos do mesmo universo. Com essa interpretação, chamamos 0, 1, 2 e 3 de > "funções", e dizemos que 1(1)=1, 1(2)=2, 1(3)=3, 2(0)=0, 2(2)=2, etc. > > Essa é uma boa maneira de interpretar, de forma intuitiva, o universo da > Teoria Flow. Nele, temos uma infinidade de termos f, g, h, etc., que se > aplicam livremente uns sobre os outros, produzindo outros termos, chamados > de "funções". Nesse universo existem duas funções especiais, 1 e 0, com as > propriedades 1(f)=f e 0(f)=f(0)=0, para toda função f. Além disso, toda > função f de Flow satisfaz f(f)=f, o que chamamos de "postulado de > autorreferência", mas podemos pensar que se trata da propriedade de > idempotência da "avaliação" vista como operação binária, se quisermos. Com > essa interpretação fica fácil ler os primeiros axiomas e entender as > demonstrações. > > O primeiro axioma diz que se f(g)=g e g(f)=f, então g=f (se f é ponto fixo > para g, e g é ponto fixo para f, são a mesma função). E também tem o > seguinte: se f(g)=f e g(f)=g, então f=g (se f absorve g e g absorve f, são > a mesma função). > > O segundo axioma diz que f(f)=f. > > Depois introduzimos 1 e 0 e provamos que são únicas. Os axiomas seguem > então como a caracterização da estranha álgebra não-associativa, > não-comutativa, idempotente e com 0 e 1 especificados, da avalição, o único > conceito primitivo de Flow. > > Bem, era isso. (Espero que essas maluquices ajudem.) > > Obrigado, Valeria, pelas considerações! > > Abraços! > > M. > > > Em sábado, 10 de outubro de 2020, Valeria de Paiva < > [email protected]> escreveu: > >> oi Marcio, >> sim, que o lambda-calculus sem tipos precisa de ser modelado em >> categorias (pra nao ter problemas parecidos com os do paradoxo de Russell) >> 'e bem conhecido. >> o paper mais famoso do John Reynolds e' Polymorphism is not >> set-theoretic - HAL-Inri <https://hal.inria.fr/inria-00076261/document>e >> a resposta do Andy Pitts 'e: >> Polymorphism is set theoretic, constructively >> <https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F3-540-18508-9_18.pdf> >> e sim 'e otimo ilustrar outros possiveis usos pro framework. >> mas esse uso eu nao acho muito convincente nao, pois a gente sabe modelar >> o lambda-calculus com ou sem tipos. >> a minha impressao sobre foundational frameworks 'e que eles todos >> funcionam -mais ou menos- igualmente. >> umas coisas sao melhores em um, outras em outro, mas no final da' tudo >> mais ou menos no mesmo na media. >> abs >> Valeria >> >> >> >> On Fri, Oct 9, 2020 at 4:59 PM Márcio Palmares <[email protected]> >> wrote: >> >>> No livro "Introduction to higher order categorical logic", Lambek e P.J. >>> Scott dizem o seguinte: >>> >>> "An obvious question to ask about the untyped λ-calculus, as originally >>> defined or as extended by us, is what its models, that is, Curry algebras >>> or C-monoids, look like. In particular, are there any models other than the >>> trivial one with only one element? This is the old question: can one >>> consistently posit a universe of functions which apply to all functions, >>> including themselves as arguments?" [pp. 118-119] >>> >>> O livro é de 1986, mas teve reimpressão em 1994... >>> >>> Em um artigo, creio que de 1982, "What is a model of the lambda >>> calculus", Albert R. Meyer, por sua vez, escrevia: >>> >>> >>> "Applying a function to itself violates the rules of ordinary set theory >>> which forbid a function from being in its own domain. The violation can >>> quickly lead to contradiction. For example, let P be the "paradoxical" >>> functional such that P(f) is zero if f(f) is not the integer zero, and P(f) >>> is the integer one otherwise. So by definition P(f) != f(f) for all f; >>> substituting P for f immediately yields the >>> contradiction P(P) != P(P)." >>> >>> Em publicações mais recentes sobre modelos para o cálculo lambda, >>> encontramos sempre a mesma objeção a um possível universo de funções >>> auto-aplicáveis, como se obter um tal sistema não fosse possível. >>> >>> Bem, a menos que tenhamos feito tudo errado (não creio que seja o caso, >>> haha), encontramos um tal sistema. >>> >>> Aqui entra uma possível interessante conexão com a teoria de categorias >>> (entre outras). >>> >>> Sabe-se que Dana Scott construiu um modelo para o "untyped lambda >>> calculus" usando a ideia de um "objeto reflexivo" U em uma categoria >>> cartesianamente fechada (detalhes em >>> https://ncatlab.org/nlab/show/lambda-calculus). >>> >>> Esse modelo de Dana Scott, de algum modo, é similar à visão intuitiva >>> que temos do universo primitivo U (não é um termo da teoria) onde >>> "estariam" todos os termos da teoria Flow... >>> >>> Então, um problema interessante é o seguinte: será que alguma porção do >>> universo de Flow pode ser modelada usando essa ideia de Dana Scott? Se sim, >>> por uma espécie de transitividade, saberíamos qual é a porção do universo >>> de Flow que corresponde a um modelo para o cálculo lambda. >>> >>> [Não pretendo tirar o foco da discussão sobre o Princípio da Partição, >>> estou apenas ilustrando possíveis "usos" para o framework.] :-) >>> >>> []'s >>> >>> M. >>> >>> >>> >>> Em sexta-feira, 9 de outubro de 2020, Valeria de Paiva < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> muito obrigada pela resposta direta Samuel! >>>> valeu! >>>> Valeria >>>> >>>> On Fri, Oct 9, 2020 at 4:04 PM Samuel Gomes da Silva <[email protected]> >>>> wrote: >>>> >>>>> Olá Valeria, >>>>> >>>>> Eu confesso que a minha desconfiança no quanto a PP ser equivalente a >>>>> AC ou não, que eu realmente achava que poderia ser, >>>>> era mais pelo tempo que o problema ficou aberto. >>>>> >>>>> Recentemente, quando Malliaris e Shelah provaram que p = t, eu também >>>>> estava no grupo dos 99 por cento dos teoristas de conjuntos >>>>> que pensavam que a solução do problema não seria essa, e sim p < t >>>>> consistente. >>>>> >>>>> Então a gente cria expectativas quando um problema de muito tempo fica >>>>> aberto, no meu caso não era muito mais do que >>>>> isso o "chute" de que PP poderia ser equivalente a AC. >>>>> >>>>> Quanto a grandes cardinais: ora, categoristas mais ou menos pressupõem >>>>> que existam grandes cardinais, não é ? É com grandes >>>>> cardinais que normalmente se justificam a existência (no sentido de se >>>>> imaginar modelos conjuntistas) de conglomerados e outros que tais. >>>>> >>>>> Por exemplo, eu estava lendo recentemente alguma reportagem na qual se >>>>> dizia que Grothendieck não tinha absolutamente >>>>> nenhuma preocupação quanto ao fato de que a existência de Universos de >>>>> Grothendieck era equivalente à existência de >>>>> cardinais fortemente inacessíveis. Para ele, aquilo seria apenas um >>>>> meio para se chegar em algo. >>>>> >>>>> Se existe a intenção de que a teoria Flow se meta em Categorias, >>>>> inacessíveis são até bem vindos, acho. >>>>> >>>>> Atés >>>>> >>>>> []s Samuel >>>>> >>>>> ------------------------------ >>>>> *De: *"Valeria de Paiva" <[email protected]> >>>>> *Para: *"samuel" <[email protected]> >>>>> *Cc: *"LOGICA-L" <[email protected]>, "marciopalmares" < >>>>> [email protected]>, "Adonai S. Sant'Anna" < >>>>> [email protected]> >>>>> *Enviadas: *Sexta-feira, 9 de outubro de 2020 18:54:13 >>>>> *Assunto: *Re: [Logica-l] Re: Teoria Flow: o princípio da partição >>>>> não implica o axioma de escolha >>>>> >>>>> Sim, Samuel! >>>>> e' por isso que eu perguntei, ne? >>>>> >>>>> vc tb publicou ha' algum tempo atras (2017) com o Andreas e o Hugo >>>>> >>>>> https://www.researchgate.net/publication/319331534_Categorial_forms_of_the_Axiom_of_Choice >>>>> e a continuacao (que eu ainda nao li). >>>>> >>>>> por isso minha pergunta inicial: >>>>> o que nos levava a pensar que PP e AC seriam equivalentes? >>>>> nao eram as formas categoricas do AC, me parece. >>>>> >>>>> uma segunda pergunta, mais geral e', por que introduzir mais um >>>>> "foundational framework"-- >>>>> se nao for pra resolver o problema de PP equivalente ou nao a AC? ('e >>>>> muito lindo mesmo, se resolver esse problema, tb acho!) >>>>> >>>>> mas a terceira pergunta 'e se isso nao 'e "caro" demais: Flow insiste >>>>> que tenhamos a "existence of strongly inaccessible cardinals". >>>>> vale o preco? na verdade eu nao sei os "precos" em teoria de >>>>> conjuntos, nao sei o que 'e caro ou o que e' barato. >>>>> mas eu acho que 'essa a discussao q o Adonai, o Marcio e o Renato >>>>> estavam querendo suscitar, nao e'? >>>>> >>>>> abracos conjuntistas (mas ignorantes) a todxs! >>>>> Valeria >>>>> >>>>> >>>>> On Fri, Oct 9, 2020 at 3:25 PM samuel <[email protected]> wrote: >>>>> >>>>>> ... Bom, só pra dar um pitaco de Princípio da Partição em categorias, >>>>>> recentemente eu publiquei este paper aqui, relacionando tanto o Axioma da >>>>>> Escolha quanto o Princípio da Partição com as categorias Dialecticas da >>>>>> Valeria. >>>>>> >>>>>> >>>>>> https://academic.oup.com/jigpal/advance-article-abstract/doi/10.1093/jigpal/jzaa023/5875437?redirectedFrom=fulltext >>>>>> >>>>>> Atés >>>>>> >>>>>> []s Samuel >>>>>> >>>>>> >>>>>> Em sexta-feira, 9 de outubro de 2020 às 18:19:17 UTC-4, samuel >>>>>> escreveu: >>>>>> >>>>>>> ... Foi pelo blog do Karagila que há alguns anos atrás eu fiquei >>>>>>> sabendo do Princípio da Partição, >>>>>>> >>>>>>> Se ele está acompanhando a coisa, trata-se de um especialista no >>>>>>> assunto, muito bem ! >>>>>>> >>>>>>> Atés >>>>>>> >>>>>>> []s Samuel >>>>>>> >>>>>>> Em sexta-feira, 9 de outubro de 2020 às 17:43:11 UTC-4, >>>>>>> marciopalmares escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> Oi, Valeria! >>>>>>>> >>>>>>>> Que bom que Adonai respondeu à sua pergunta... Eu sempre pensei >>>>>>>> assim: todo epimorfismo pode ser cindido em Set, temos portanto uma >>>>>>>> versão >>>>>>>> categorial do axioma da escolha, sabemos que o axioma da escolha >>>>>>>> implica a >>>>>>>> lei do terceiro escolhido, então saberemos como é a álgebra dos >>>>>>>> subobjetos >>>>>>>> nas categorias em que vale o AE, e pronto! É tudo o que precisamos >>>>>>>> saber >>>>>>>> sobre axioma de escolha! (Eu nem sabia que esse problema do Princípio >>>>>>>> da >>>>>>>> Partição existia...). >>>>>>>> >>>>>>>> Como Adonai mencionou, o artigo chamou a atenção de Asaf Karagila. >>>>>>>> Ele fez uma postagem em seu blog e está comentando passo a passo, à >>>>>>>> medida >>>>>>>> em que progride na leitura pelo twitter: >>>>>>>> http://karagila.org/2020/going-with-the-flow/ (São muito >>>>>>>> divertidos os comentários.) >>>>>>>> >>>>>>>> Esse primeiro artigo está completamente focado em demonstrar o >>>>>>>> resultado principal, e também em provar que os axiomas de ZF são >>>>>>>> teoremas >>>>>>>> quando traduzidos em Flow. Mas estamos trabalhando também em outra >>>>>>>> frente: >>>>>>>> mostrar que o sistema que William Lawvere sugeriu em 1966 (category of >>>>>>>> categories as a foundation) também pode ser imerso em Flow, isto é, os >>>>>>>> axiomas da teoria de primeira ordem sugeridos por Lawvere são teoremas >>>>>>>> em >>>>>>>> Flow, quando devidamente traduzidos. >>>>>>>> >>>>>>>> Seria muito legal se o artigo despertasse também atenção dos >>>>>>>> categoristas, apesar de, por restrições de tamanho e pelo resultado >>>>>>>> obtido, >>>>>>>> ter ficado restrito a teoria de conjuntos, teoria de modelos. >>>>>>>> >>>>>>>> Abraços! >>>>>>>> >>>>>>>> M. >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> >>>>>>>> Em sex., 9 de out. de 2020 às 18:34, Adonai S. Sant'Anna < >>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>> >>>>>>>>> Valeria >>>>>>>>> >>>>>>>>> Longa história para responder à sua pergunta. Se o trabalho >>>>>>>>> estiver certo, nossa teoria geral de funções Flow permite exibir >>>>>>>>> modelo de >>>>>>>>> ZF onde vale PP mas não AE. Isso é conseguido graças a um axioma de >>>>>>>>> F-Escolha que sugerimos em nosso trabalho. Esse axioma de F-Escolha >>>>>>>>> permite >>>>>>>>> PP como teorema. No entanto, existe ZF-conjunto (ZF-conjuntos são >>>>>>>>> termos de >>>>>>>>> Flow que correspondem a conjuntos de ZF num sentido preciso) que não >>>>>>>>> pode >>>>>>>>> ser bem ordenado. Logo, não vale AE. Não somos os únicos que >>>>>>>>> desconfiaram >>>>>>>>> que AE independe de PP. Asaf Karagila admitiu por e-mail ter a mesma >>>>>>>>> impressão. Estamos conversando com ele sobre isso. Em breve teremos >>>>>>>>> mais >>>>>>>>> novidades (boas ou ruins, só Deus sabe). >>>>>>>>> >>>>>>>>> Abraço >>>>>>>>> >>>>>>>>> Adonai >>>>>>>>> >>>>>>>> Em sex, 9 de out de 2020 às 5:42 PM, Valeria de Paiva < >>>>>>>>> [email protected]> escreveu: >>>>>>>>> >>>>>>>> Marcio, Samuel, >>>>>>>>>> e voces conseguem dizer *por que* o principio da particao 'vale >>>>>>>>>> em ZF, mas o axioma da escolha nao? >>>>>>>>>> porque tinha uma razao pra pensar que eles seriam equivalentes, >>>>>>>>>> ne? >>>>>>>>>> qual era essa razao? >>>>>>>>>> obrigada, >>>>>>>>>> Valeria >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> On Fri, Oct 9, 2020 at 1:32 PM samuel <[email protected]> wrote: >>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Caros, >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Renato Brodzinski (outro dos autores) tinha me avisado mais cedo >>>>>>>>>>> desse trabalho. Por acaso, o seminário que eu vou apresentar em >>>>>>>>>>> novembro >>>>>>>>>>> fala, precisamente, do Princípio da Partição ! >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Se tudo der certo, eles resolveram só o problema mais antigo da >>>>>>>>>>> Teoria dos Conjuntos (com mais de 100 anos em aberto). >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Atés e parabéns pelo trabalho, >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> []s Samuel >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Em sexta-feira, 9 de outubro de 2020 às 08:29:14 UTC-4, >>>>>>>>>>> marciopalmares escreveu: >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> Olá, pessoal! >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> Estamos divulgando nosso trabalho sobre a teoria Flow, uma >>>>>>>>>>>> teoria geral sobre funções, cujo propósito inicial era fornecer um >>>>>>>>>>>> framework tanto para a teoria de categorias quanto para ZF. No >>>>>>>>>>>> meio do >>>>>>>>>>>> caminho, Adonai resolveu o problema em aberto do princípio da >>>>>>>>>>>> partição, >>>>>>>>>>>> isto é, construiu um modelo para ZF em Flow em que vale o >>>>>>>>>>>> princípio da >>>>>>>>>>>> partição mas não o axioma de escolha, e agora a Teoria Flow conta >>>>>>>>>>>> com um >>>>>>>>>>>> cartão de visitas muito legal! >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> Uma prévia do trabalho está disponível no arXiv: >>>>>>>>>>>> https://arxiv.org/abs/2010.03664 >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> O objetivo de divulgar o preprint é recolher críticas, >>>>>>>>>>>> sugestões, antes da submissão para um periódico. Então, todas as >>>>>>>>>>>> críticas >>>>>>>>>>>> são bem-vindas! >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> Obrigado! >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> Abraços! >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> M. >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo >>>>>>>>>>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails >>>>>>>>>>> dele, envie um e-mail para [email protected]. >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> Para ver essa discussão na Web, acesse >>>>>>>>>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/8335ff82-f056-426b-b53c-95cef9dbacban%40dimap.ufrn.br >>>>>>>>>>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/8335ff82-f056-426b-b53c-95cef9dbacban%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> >>>>>>>>>>> . >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>> Valeria de Paiva >>>>>>>>>> http://vcvpaiva.github.io/ >>>>>>>>>> http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/ >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> -- >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo >>>>>>>>>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails >>>>>>>>>> dele, envie um e-mail para [email protected]. >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> Para ver essa discussão na Web, acesse >>>>>>>>>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXuUF49LXeNoStYW9wR20FtxcYi6sXu8HftR-SJ-WXSjow%40mail.gmail.com >>>>>>>>>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXuUF49LXeNoStYW9wR20FtxcYi6sXu8HftR-SJ-WXSjow%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer> >>>>>>>>>> . >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> >>>>>>>>>> -- >>>>>>>>> Adonai S. 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