Caros colegas,
estou lendo o livro do Moshé Machover: ``Set Theory, Logic and Their
Limitations’’ e me surgiu
uma dúvida com respeito aos cuidados que *precisamos* ter ao propor uma
definição.
A definição é na seção sobre cardinais, quando ele define prematuramente (de
maneira proposital)
a noção de cardinalidade; como um objeto que será posteriormente mais detalhado.
A definição 2.1 p. 38 é a que segue:
“2.1 Definition
Let $\lambda$ and $\mu$ be cardinals. Let $A$ and $B$ be sets such that $\mid
A\mid =\lambda$ and
$\mid B\mid =\mu$. We say that $\lambda$ is smaller-than-or-equal-to $\mu$, ..,
if there is an injection from $A$
to $B$.”
Em seguida ocorre a seguinte observação:
“ 2.2 Remark:
This definition is in need of legitimation: We must make sure that that the
criterion it provides for asserting that
$\lambda\leq\mu$ depends only on these cardinals themselves rather than on the
choice of particular sets $A$
and $B$ such that $\mid A\mid =\lambda$ and $\mid B\mid =\mu$. This is done as
follows: Let $A,A’, B,B’$ be sets
such that $\midA\mid=\mid A’ \mid$ and $\mid B\mid =\mid B’ \mid$. Given an
injection from $A$ to $B$, it is easy
to show that there is also an injection from $A’$ to $B’$ "
Agora vem a minha dúvida:
(1) É necessário fazer essa verificação, uma vez que na definição são
assumidos $A$ e $B$ arbitrários tal que
$\mid A\mid =\lambda$ e $\mid B\mid=\mu$?. (Para mim não é necessário,
pois a definição já assume a situação proposta em magenta.)
(2) Vocês conhecem alguma definição semelhante em que uma verificação
parecida falhe? Ou seja o conceito vale apenas para um alguns objetos
escolhidos e não para todos.
Abraços a todos,
Regivan
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Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago
Group for Logic, Language, Information, Theory and Applications - LoLITA
Department of Informatics and Applied Mathematics - DIMAp
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