Colapso de cardinais: vc vê na prova, direitinho, essas aplicações que existem
ou não, conforme o modelo.
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> On Jun 16, 2016, at 10:16 AM, Hermógenes Oliveira
> <hermogenes.olive...@student.uni-tuebingen.de> wrote:
>
> Samuel Gomes escreveu:
>
>> Oi Hermógenes,
>
> Oi, Samuel. Obrigado pelos esclarecimentos! Ainda tenho algumas
> questões, se não for abusar demais da sua paciência (e da lista).
>
>> --> A coisa dos "modelos pensantes" é simplesmente um jargão. Dizer
>> que um modelo M "pensa" uma certa asserção phi é simplesmente
>> dizer que M modela phi, i.e., que phi é válida em M, que phi é
>> verificada em M.
>
> Hum. Acho o jargão meio esquisito, mas tudo bem.
>
> Então, baseado nas suas explicações abaixo, a frase "this model must
> think that ZFC has no model" significa que um certo modelo M de ZFC
> modela, ou satisfaz, a sentença gödeliana ⌜φ⌝ que "expressa" a
> inconsistência de ZFC. É isso?
>
>> Exemplo: por Lowenheim-Skolem "pra baixo", a teoria dos reais (em
>> primeira ordem) tem modelo enumerável. Então podemos ter uma estrutura
>> enumerável M no qual todas as sentenças sobre os reais são válidas,
>> quando relativizadas a M (existe x = existe x em M, para todo x = para
>> todo x em M, e assim por diante).
>>
>> O que choca inicialmente as pessoas é: como pode existir um modelo
>> enumerável de algo que é não-enumerável ? Esse seria o tal do Paradoxo
>> de Skolem...
>>
>> Pois é, o que ocorre é que o tal modelo enumerável "pensa" que é
>> não-enumerável. Pois todas as funções que sobrejetam os naturais em M
>> estão FORA do modelo: eu olhando de fora sei que ele é enumerável, mas
>> "lá dentro" as tais funções que o enumeram não estão, essas funções
>> não pertencem a M. "Na opinião dele", ele é enumerável - pois a
>> sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os naturais" é
>> verificada, é válida lá.
>
> Imagino que aqui você quis dizer: "Na opinião dele, ele *não* é
> enumerável — pois a sentença "Não existe bijeção entre a estrutura e os
> naturais" é verificada, é válida lá."
>
> Ou eu perdi alguma sutileza?
>
>> (É a velha historinha de que a formiguinha que está andando sobre a
>> mesa não consegue enxergar a terceira dimensão: ela "pensa" que
>> o mundo é bidimensional, porque o modelo onde ela vive é assim).
>>
>> --> você pergunta "por quê" estamos usando o Teorema de Completude
>> para ZFC, então não tenho certeza
>> se realmente a sua pergunta é sobre "por quê" ou "como", então vou
>> aproveitar a oportunidade para
>> dar respostas rápidas para ambas...
>>
>> "Por quê ?": se a pergunta foi essa, talvez você esteja confundindo
>> completude SEMÂNTICA (= "se é consistente, tem modelo") com
>> completude SINTÁTICA (="toda sentença pode ser provada ou refutada").
>
> De fato, eu estava pensando em completude sintática.
>
> Quando o Noah Schweber começou uma frase com "by completeness" e a frase
> seguinte com "by incompleteness", minha cabeça girou...
>
> Por isso, prefiro chamar o primeiro teorema de Gödel de teorema de
> *indecidibilidade*, pois, caso contrário, sempre acabo metendo os pés
> pelas mãos com a distinção que você faz acima.
>
>> [...]
>>
>> ZFC não prova Con(ZFC) - ou seja, Con(ZFC) não é consequência
>> sintática de ZFC. ("Claro que na verdade não prova nem refuta, mas
>> sigamos só disso")
>>
>> Por Completude, se não é consequência sintática então não é
>> consistência semântica.
>>
>> Então não é verdade que Con(ZFC) seja válido em todos os modelos de
>> ZFC.
>>
>> Portanto, existe um modelo de ZFC no qual Con(ZFC) não é válido. Esse
>> é um tal modelo que "pensa que não existe" - pois, dentro dele, a
>> asserção "existem modelos de ZFC" (que é equivalente a "ZFC é
>> consistente", por Soundness + Completeness) não é verificada.
>>
>> ... Notar que, também por completude, deverão existir modelos de ZFC
>> onde Con(ZFC) é válido e também deverão existir modelos de ZFC onde
>> Con(ZFC) não é válido ("se todos os modelos concordassem, existiria
>> uma prova", essencialmente é isso que Completude diz). Aí podemos
>> aplicar Soundness e chegar em Con(Con (ZFC)) e Con(não Con(ZFC)), ou
>> seja, Con(ZFC) é independente de ZFC.
>
> Achei a sua explicação bem melhor do que a do Noah. Ademais, talvez por
> causa da dissolução do jargão, sua explicação não soa tão misteriosa.
>
> Além do jargão, algo que me escapou na resposta do Noah e que ficou mais
> claro na sua é como usar consistência, que Gödel mostrou como codificar
> para dentro da teoria, e completude semântica (consistência ≡ existência
> de modelo) para "expressar" noções como "(não) tem modelo" dentro da
> teoria.
>
> Agora, devo admitir que essa conversa toda de "modelo pensante" e
> "modelo de ZFC dentro do qual ZFC não tem modelo", me soa *muito*
> suspeita: terminologia, alegações e asserções tão misteriosas (eu diria
> até mesmo místicas) para expressar algo tão simples. Deve ser por isso
> que eu fujo de teoria dos modelos que nem o diabo da cruz...
>
>> ... Espero que ajude,
>
> Ajudou bastante. Obrigado, novamente.
>
> Abraços,
>
> --
> Hermógenes Oliveira
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