Olás,
Bons exemplos esses ! Gostei. Casos particulares que não precisa da
força toda dos princípios AC e BPI.
O interessante é que o filtro de Frechet, na álgebra de Boole "toda",
partes de X, não é ultrafiltro. Mas na álgebra dos finitos e
cofinitos, é... Legal.
Com meus alunos de iniciação, o que eu uso sempre é o Bell Slomsom
mesmo, mas não tem exemplos detalhados assim não, de fato.
Até,
[]s Samuel
Quoting Carlos Gonzalez <gonza...@gmail.com>:
Caros,
Nas pp. 110-111 do livro de Felgner tem um resumo de equivalentes do
BPI. Do equivalente (f)
(f) In every Boolean Algebra, there exists a 2-valued measure.
segue-se que BPI é equivalente a:
"Toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".
Consideremos uma álgebra de Boole sem átomos. Pelo Teorema de Stone,
suponhamos que é uma álgebra de subconjuntos (field of subsets) (não
vai ser da forma P(a), porque vão faltar subconjuntos ). Seja F um
filtro principal nessa álgebra, com gerador g. Se g for finito, então
ou g é um átomo ou existe um átomo menor que g. Portanto g é infinito.
Tiremos um elemento de g: h = g - {x}, e seja H o filtro gerado por
h. F está propriamente contido no filtro H e F não é ultrafiltro.
Portanto, qualquer ultrafiltro nessa álgebra é não-principal. (Pode
ser usado o Corolário 2 da p. 172 do livro de Givant e Halmos)
Sem o AC nem BPI: Consideremos a álgebra de Boole dos conjuntos
finitos e cofinitos de números naturais. O conjunto dos cofinitos F, o
filtro de Frechet, é um filtro maximal nessa álgebra, pois se
acrescentamos qualquer conjunto finito deixa de ser um filtro próprio.
Portanto F é um ultrafiltro não principal.
Eu não encontro uma bibliografia que trabalhe exaustivamente todos
esses exemplos simples em álgebras de Boole. As apostilas das
disciplinas de Roberto Cignoli estavam cheias desses exemplos. Tanto
os livros introdutórios de álgebras de Boole, como de teoria dos
conjuntos, como também os livros mais avançados e o Handbook de
álgebras de Boole têm muito poucos exemplos desse tipo. Alguém conhece
bibliografia nesse sentido?
Carlos
O livro de Givant e Halmos:
@BOOK{halmosgivantboolalgebras,
author = "Steven Givant and Paul R. Halmos",
title = "Introduction to {B}oolean Algebras",
publisher = "Springer",
address = "New York",
year = 2009,
}
O livro de Felgner:
@book{felgnerlnm,
author = "Ulrich Felgner",
title = "Models of ZF-Set Theory",
number = 223,
series = "Lecture Notes in Mathematics",
publisher = "Springer",
address = "Heidelberg",
year = 1971,
}
2012/11/20 <sam...@ufba.br>:
Olás,
A forma fraca do Axioma da Escolha que é necessária para garantir a
existência de ultrafiltros não-principais é precisamente o Teorema do
Ultrafiltro (que garante que todo filtro numa álgebra de Boole pode ser
estendido a um ultrafiltro), que por sua vez é equivalente ao Teorema do
Ideal Booleano Primo (que declara que toda álgebra de Boole possui um ideal
maximal), conhecido na literatura de princípios de escolha como BPI.
Aí, pensando nos naturais, de fato: basta estender o filtro dos cofinitos e
temos um ultrafiltro livre (não-principal).
Que BPI é estritamente mais fraco que AC, para isso Halpern e Levy
construíram um modelo.
J. D. Halpern, A. Levy: The Boolean prime ideal theorem does not imply the
axiom of choice, Axiomatic Set Theory, Symposia Pure Math., 1971, 83?134.
Na verdade o próprio modelo original de Cohen (que mostrou a independência
da Hipótese do Contínuo) também tinha essa propriedade (não vale o Axioma da
Escolha, porém todo filtro pode ser estendido a um ultrafiltro). O modelo de
Halpern e Levy é construído de modo um pouco diferente.
Observo que no modelo de Cohen, portanto, não vale o Axioma da Escolha mas
ainda assim existe um subconjunto não-mensurável da reta (essencialmente, um
ultrafiltro livre é um subconjunto não-mensurável da reta, identificando os
caras do ultrafiltro com sequências de 0's e 1's e isso com subconjuntos da
reta).
Porém, existe um modelo da reta, devido a Solovay, no qual todo subconjunto
da reta é mensurável. Nesse modelo, portanto, não vale nem o Axioma da
Escolha nem o Teorema do Ultrafiltro.
Solovay, Robert M. (1970). "A model of set-theory in which every set of
reals is Lebesgue measurable". Annals of Mathematics. Second Series 92 (1):
1?56.
Muito curiosamente, no modelo de Solovay vale o Princípio das Escolhas
Dependentes e portanto o Axioma da Escolha Enumerável !!!
Até,
[]s Samuel
P.S. Um outro modelo sem ultrafiltros livres é o seguinte:
Andreas Blass, A model without ultrafilters, Bull. Acad. Polon. Sci. 25
(1977), 329?331.
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