Olás,
A forma fraca do Axioma da Escolha que é necessária para garantir a
existência de ultrafiltros não-principais é precisamente o Teorema do
Ultrafiltro (que garante que todo filtro numa álgebra de Boole pode
ser estendido a um ultrafiltro), que por sua vez é equivalente ao
Teorema do Ideal Booleano Primo (que declara que toda álgebra de Boole
possui um ideal maximal), conhecido na literatura de princípios de
escolha como BPI.
Aí, pensando nos naturais, de fato: basta estender o filtro dos
cofinitos e temos um ultrafiltro livre (não-principal).
Que BPI é estritamente mais fraco que AC, para isso Halpern e Levy
construíram um modelo.
J. D. Halpern, A. Levy: The Boolean prime ideal theorem does not imply
the axiom of choice, Axiomatic Set Theory, Symposia Pure Math., 1971,
83134.
Na verdade o próprio modelo original de Cohen (que mostrou a
independência da Hipótese do Contínuo) também tinha essa propriedade
(não vale o Axioma da Escolha, porém todo filtro pode ser estendido a
um ultrafiltro). O modelo de Halpern e Levy é construído de modo um
pouco diferente.
Observo que no modelo de Cohen, portanto, não vale o Axioma da Escolha
mas ainda assim existe um subconjunto não-mensurável da reta
(essencialmente, um ultrafiltro livre é um subconjunto não-mensurável
da reta, identificando os caras do ultrafiltro com sequências de 0's e
1's e isso com subconjuntos da reta).
Porém, existe um modelo da reta, devido a Solovay, no qual todo
subconjunto da reta é mensurável. Nesse modelo, portanto, não vale nem
o Axioma da Escolha nem o Teorema do Ultrafiltro.
Solovay, Robert M. (1970). "A model of set-theory in which every set
of reals is Lebesgue measurable". Annals of Mathematics. Second Series
92 (1): 156.
Muito curiosamente, no modelo de Solovay vale o Princípio das Escolhas
Dependentes e portanto o Axioma da Escolha Enumerável !!!
Até,
[]s Samuel
P.S. Um outro modelo sem ultrafiltros livres é o seguinte:
Andreas Blass, A model without ultrafilters, Bull. Acad. Polon. Sci.
25 (1977), 329331.
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