Caros colegas:
Há dias perguntei através desta lista a respeito do nome de uma coleção
cujos pares ordenados se comportam como uma função.
Por exemplo, considerando que 7 não é par ordenado, então R
={<4,3>,<5,3>,7,<2,8>} não é relação, mas o subconjunto {<4,3>,<5,3>,<2,8>}
de R é função.
Sobreveio-me a esta pergunta uma questão que venho refletindo há vários
anos, desde pelo menos uma aula de Teoria das Categorias que assisti com o
Prof. Veloso, quando fazia um doutorado na PUC-Rio. Lá ele falou de uma
certa assimetria existente entre funções injetivas, funções canceláveis à
esquerda e funções inversíveis à esquerda, por exemplo.
Não me concentrei estes anos exclusivamente neste assunto, pois,
simultaneamente, outros assuntos continuaram e continuam “circulando” em
mim. De vez em quando, vêm-me respostas de alguns assuntos, enquanto outros
continuam “trabalhando” em mim.
Estes dias, em uma destas madrugadas, quando o sono não vinha, vislumbrei
uma resposta que depois fui buscando aprofundar.
Percebi então que o assunto da injetividade e da sobrejetividade talvez não
esteja sendo bem considerado, ao amarrar-se estes conceitos à ideia de
função, e também vinculando, de uma forma obrigatória, a duas coleções,
sendo que a primeira é sempre o domínio e a segunda apenas contém a imagem.
Vi então que é preciso alargar este estudo, focando em relações em geral, e
mesmo, em entidades quaisquer que sequer precisam ser relações. Assim como,
para conhecer-se melhor números inteiros, é preciso considerar-se os
racionais, e assim por diante, de forma que os conjuntos numéricos foram se
alargando cada vez mais.
Aí percebi que é possível chegar-se a uma simetria e convergência das
ideias de injetividade, cancelamento à esquerda e inversibilidade à
esquerda (e também para sobrejetividade) considerando-se conceitos de
injetividade sem vínculos a qualquer coleção.
Por exemplo, para uma dada entidade R (não necessariamente uma relação),
existem então as seguintes ideias:
• R é injeção;
• R é injeção a partir de A (como coleção de partida);
• R é injeção sobre B (como coleção de chegada);
• R é injeção de A em B.
E também:
• R é sobrejeção;
• R é sobrejeção a partir de A;
• R é sobrejeção sobre B;
• R é sobrejeção de A em B.
A este respeito, os conceitos usuais de função de A em B, função injetiva
de A em B e função sobrejetiva de A em B parecem-me, então, mal desenhados,
por não resultarem em uma boa convergência de ideias.
Uma ideia é boa quando expressa alguma convergência. Se não, é inadequada.
Por exemplo: “um número primo é um número inteiro positivo divisível apenas
por si mesmo e por um.” Tal ideia não é boa por não permitir uma formulação
mais simples do teorema da fatoração única em primos. Por isto, é
preferível dizer-se: “um número primo é um número inteiro positivo,
diferente de um, divisível apenas por si mesmo e por um.” Esta segunda
ideia daí é melhor que a primeira por permitir formulações mais simples de
diversas ideias que sucedem esta.
Da mesma maneira, as conceitos usuais de função de A em B, com sua eventual
injetividade e sobrejetividade vinculadas, parecem-me, sob um certo ponto
de vista, inadequadas, daí estou propondo uma reformulação das mesmas.
Quanto à pergunta que formulei há alguns dias, a respeito de como denominar
uma coleção (que não necessariamente é relação), mas comporta-se como uma
função, cheguei a uma resposta, conforme as novas ideias que vêm se
desvelando para mim. Tal coleção é uma sobrejeção. Neste sentido, então,
uma função é uma relação sobrejetiva.
Pergunto se tais reflexões seriam interessantes para apresentar no próximo
congresso da EBL, em 2014? Isto porque, até agora, não via nada mais
relevante para apresentar.
Um abraço,
Arthur Buchsbaum
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