Un projet a été soumis à savannah.nongnu.org
Ce courriel a été envoyé à [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
morlier <[EMAIL PROTECTED]> a décrit le projet comme suit :
Licence: fdl
Autre Licence:
Paquet: Redac_JO
Nom système: essai
Type: non-GNU
Description:
Gestion de mes fichiers latex.
exemple de code fournit:
\begin{sloppypar}
\chapter{État de l'art}
Le but de ce chapitre est de montrer que la caractérisation d'une
structure peut s'effectuer seulement à une échelle globale
(transformée de Fourier) mais aussi bien à une échelle duale,
globale et locale (transformée en ondelettes) en caractérisant la
structure et ses défauts. On fera en premier lieu le point sur
l'analyse modale des structures et en particulier sur l'extraction
des paramètres modaux.
\section{Analyse modale expérimentale}
Les objectifs de cette analyse sont d'une part d'identifier un
modèle modal (global), de la structure que l'on cherche à
connaître (i.e. estimer les différents paramètres modaux), mais
aussi d'introduire les notions théoriques qui permettront de mieux
comprendre la méthode d'évaluation non destructive que nous avons
développé cette année. Cette dernière sera exposée par la suite,
ainsi que son application à la détection de défauts sur des
structures simples (poutre).
\subsection{Définition}
L'analyse modale permet d'établir un modèle de comportement
vibratoire d'une structure en basses fréquences (jusqu'à quelques
dizaines de Hz). En identifiant par la mesure les trois paramètres
modaux (les fréquences, vecteurs propres et amortissements modaux)
d'un système, on peut construire un modèle analytique qui pourra
être employé en simulation pour connaître le comportement
dynamique de ce système dans d'autre cas pratiques. En hautes et
moyennes fréquences, la densité de modes est souvent trop
importante pour que cette méthode soit applicable. Ces
considérations dépendent de la complexité du problème étudié :
pour un poutre ou une plaque, le domaine d'utilisation de
l'analyse modale est beaucoup plus large que pour une voiture ou
un avion, par exemple.
\newline
\newline L'analyse modale est basée sur
quelques hypothèses [1] :
\newline
Le système est linéaire dans la gamme des amplitudes étudiées.
\newline
Le système, s'il est continu, peut se représenter par un système
discret où les paramètres sont exprimés pour chaque noeud du
maillage (nombre de degrés de liberté (ddl) total = nombre de
noeuds * nombre de ddl par noeud).
\newline L'amortissement est
supposé proportionnel à la rigidité.\newline Pour des modes
clairement identifiés, la méthode de comparaison à une somme de
systèmes à 1 ddl est facile à appliquer.\newline
\InsFig{Superposition1}{principe de superposition}{}{0.8}
\newpage
\subsection{Extraction des paramètres modaux}
L'analyse modale expérimentale est la technique la plus fiable
pour extraire les trois paramètres modaux de l'estimation de la
Fonction de Réponse en Fréquences $H(\omega)$(ou FRF). A partir de
la représentation de Bode (Tracé du module et de l'argument en
fonction de la fréquence), on décide du nombre de modes à
attribuer à la structure, et ce dans une bande de fréquences. La
plupart du temps, le nombre de modes correspond au nombre de pics
distincts (résonance d'amplitudes) du tracé du module de
$H(\omega)$. Il correspond aussi au nombre de passages à $\pm90$°
de la phase de $H(\omega)$ ou aux maxima de la partie imaginaire.
\subsubsection{Exemple d'identification modale}
La poutre de la figure ci -dessous est encastrée à une extrémité,
libre à l'autre et excitée au point 1 par un pot vibrant de
pulsation $\omega$ réglable.
\InsFig{Protocole}{Protocole d'identification modale}{}{0.35}
Les mesures des déplacements aux points 1, 2 et 3 sont transmises
à un analyseur qui affiche le graphique de la figure 2.3.
\InsFig{Spectre}{Module et phase des 3 FRF}{}{0.85}
On repère sur la partie du haut, les variations du module de la
FRF $|H|$, en échelle logarithmique (en dB). Les variations de
l'argument (phase) de H sont en bas, pour une certaine gamme de
pulsations de l'excitation d'amplitude F.\newline
On pose: $[X]=[H(\omega)][F]$, où $[H(\omega)]$ est la matrice de
réceptance. On a relevé pour le premier accéléromètre:\newline
$|H_{11}(\omega_1)|=0.423$, à la pulsation du premier mode
$\omega_1=10$ rad/s. Et les deux pulsations à -3 dB autour du
fondamental:
$|H_{11}(\omega_{a1})|=|H_{11}(\omega_{b1})|=\frac{|H_{11}(\omega_{1})|}{\sqrt(2)}$,
$\omega_{a1}=9.85 $ rad/s et $\omega_{b1}=10.05 $ rad/s.\newline
De même pour le deuxième et troisième modes : \newline
$|H_{11}(\omega_2)|=0.655$ à $\omega_2=20 $ rad/s. Et les deux
pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline
$|H_{11}(\omega_{a2})|=|H_{11}(\omega_{b2})|=\frac{|H_{11}(\omega_{2})|}{\sqrt(2)}$,
$\omega_{a2}=19.8 $ rad/s et $\omega_{b2}=20.2 $ rad/s.\newline
\newline
$|H_{11}(\omega_3)|=0.174$ à $\omega_3=32 $ rad/s. Et les deux
pulsations à -3 dB autour de ce mode:\newline
$|H_{11}(\omega_{a3})|=|H_{11}(\omega_{b3})|=\frac{|H_{11}(\omega_{3})|}{\sqrt(2)}$,
$\omega_{a3}=30.8 $ rad/s et $\omega_{b3}=34 $ rad/s.\newline
Pour le deuxième accéléromètre, on relève:\newline
$|H_{21}(\omega_1)|=0.917$, $|H_{21}(\omega_2)|=0.687$,
$|H_{21}(\omega_3)|=0.124$\newline
Pour le troisième accéléromètre, on relève:\newline
$|H_{31}(\omega_1)|=2.317$, $|H_{31}(\omega_2)|=2.126$,
$|H_{31}(\omega_3)|=0.707$\newline
La structure admet 3 degrés de liberté (ddl) entre 0 et 40 rad/s,
identifiés par les 3 pics des modules des FRF, de pulsation
$\omega_1=10$ rad/s, $\omega_2=20$ rad/s, $\omega_3=32$ rad/s. On
vérifie qu'à ces pulsations correspond une phase de FRF de 90° ou
de -90° (modulo 180°).\newline Le facteur d'amortissement est
obtenu par la méthode de la demi puissance (-3 dB) autour de
$\omega=\omega_r$ ($r_{ieme}$ mode).\newline
Soit,\newline
$\delta_1=\frac{\omega_{b1}-\omega_{a1}}{2\omega_1}=\frac{10.05-9.85}{20}=0.01$\newline
\newline
$\delta_2=\frac{\omega_{b2}-\omega_{a2}}{2\omega_2}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline
\newline
$\delta_3=\frac{\omega_{b3}-\omega_{3}}{2\omega_3}=\frac{20.2-19.8}{40}=0.01$\newline
\newline
\textit{Remarque}: On peut trouver les mêmes résultats à partir de
$|H_{21}|$ ou $|H_{31}|$, ce qui permet d'obtenir une valeur plus
précise en moyennant les 3 résultats.
\newline
Si l'amortissement est proportionnel, les composantes $P_{jr}$ du
vecteur de forme $\psi_r$ (avec j numéro de capteur et r mode de
vibration)sont réelles et les signes de leur composantes sont
donnés par le signe de la phase correspondante. Si l'amortissement
est non proportionnel, $P_{jr}$ est complexe et nous ne
déterminerons ainsi que son module.\newline
\newline \textit{Rappel}: En effet, en connaissant le nombre de pôles qui
caractérisent la structure, on peut trouver les paramètres modaux
en identifiant le modèle à fraction partielle (MFP):
$$H(\omega)=\sum_{k=1}^{N}
\frac{R_k}{\omega-p_k}+\frac{R_k^*}{\omega-p_k^*}$$\newline Ainsi
on décompose la fonction de transfert (identifiée en minimisant
l'erreur entre la FRF et le quotient de de polynôme en $\omega$)
en éléments simples. Cette décomposition laisse apparaître dans
les pôles p et $p^*$ de la MFP, les 2 premiers paramètres modaux:
$p=-\delta_k-j\omega_k$. En effet, sa partie réelle représente
l'amortissement et sa partie imaginaire nous renseigne sur la
pulsation naturelle amortie du système. Le résidus $R_k$ est un
nombre imaginaire qui rend compte de la force du mode. C'est un
concept mathématique qui n'a pas d'interprétation physique
directe, c'est un indicateur de la déformée modale.\newline
$H(\omega \to \omega_k) \approx \frac{R_k}{\delta_k}$ \newline On
montre que le résidu pour un mode particulier k est proportionnel
au produit du déplacement modal à 1 ddl i par le déplacement modal
à l'excitation j:\newline
$R_{ij}^k=\frac{P_{ik}P_{jk}}{2j\omega_k}$\newline On peut
remarquer que la partie imaginaire de $H(\omega)$ contient deux
informations essentielles, l'amplitude et la direction.\newline
Ainsi, on obtient le vecteur de forme ${\psi_1}$ du premier mode à
partir des relations suivantes :
\newline
$|P_{j1}P_{k1}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{jk}(\omega_1)|$\newline
$P_{11}^2=2\delta_1\omega_1^2|H_{11}(\omega_1)|=0.846$, phase
négative, $P_{11}=-0.920$\newline
$|P_{21}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{21}(\omega_1)|=1.834$,
phase négative, $P_{21}=-1.993$\newline
$|P_{31}P_{11}|=2\delta_1\omega_1^2|H_{31}(\omega_1)|=4.633$,
phase négative, $P_{21}=-5. 036$\newline Soit
$$\psi_1=\left (
\begin{array}{ccc}
-0.920 \\
-1.993 \\
-5.036 \\
\end{array}
\right )
$$\newline
De même, pour le deuxième mode, de
$|P_{j2}P_{k2}|=2\delta_2\omega_2^2|H_{jk}(\omega_2)|$, nous
obtenons: \newline $P_{12}^2=5.24$, phase négative,
$P_{12}=-2.289$\newline $|P_{22}P_{12}|=5.496$, phase négative,
$P_{22}=-2.401$\newline $|P_{32}P_{12}|=17.008$, phase négative,
$P_{32}=7.43$\newline Soit
$$\psi_2=\left (
\begin{array}{ccc}
-2.289 \\
-2.401 \\
7.43\\
\end{array}
\right )
$$\newline
Et pour le troisième mode, de
$|P_{j3}P_{k3}|=2\delta_3\omega_3^2|H_{jk}(\omega_3)|$, nous
obtenons: \newline $P_{13}^2=17.817$, phase négative,
$P_{13}=-4.221$\newline $|P_{23}P_{13}|=12.697$, phase négative,
$P_{23}=-2.401$\newline $|P_{33}P_{13}|=72.396$, phase négative,
$P_{33}=-17.151$\newline Soit
$$\psi_3=\left (
\begin{array}{ccc}
-4.221 \\
3 \\
-17.151\\
\end{array}
\right )
$$
\newpage
Ainsi,les déformées modale de la poutre sont:
\InsFig{Deforme}{Déformées modales des pour les 3 premiers
modes}{}{0.8}
\newpage
\section{Les limites de la transformée de Fourier}
La transformée de Fourier analyse le "contenu fréquentiel" d'un
signal [3,9]. Ses nombreuses propriétés la rendent adaptée à
l'étude des opérateurs linéaires stationnaires, notamment la
dérivation.
La transformée de Fourier de f est: $$\int_{-\infty}^{+\infty}
f(t)e^{-j\omega t}dt=\mathcal{F}(f)$$
La transformée de Fourier est une représentation globale du
signal. Mais elle ne permet pas d'analyser son comportement
fréquentiel local, ni sa régularité locale. La condition de
convergence sur la transformée de Fourier n'indique que le pire
ordre de singularité. En pratique, si l'on inverse par exemple
l'ordre des données temporelles (le premier devient le dernier
etc.), on obtiendra exactement le même spectre. En conséquence, il
est devenu indispensable pour certaines applications de
représenter simultanément le signal en temps et en fréquence.
\subsection{Analyse temps-fréquence}
L'analyse spectrale classique est basée sur la transformation de
Fourier, c'est-à-dire sur une décomposition en ondes
monochromatiques éternelles. Cette approche trouve une limitation
naturelle dès lors que les signaux analysés sont non stationnaires
(fréquences évolutives, transitoires, ruptures, modulations, ...),
ce qui est bien souvent le cas dans les applications. Dans de
telles situations, une description plus pertinente consiste à
représenter un signal à l'aide de deux variables conjointes : le
temps et la fréquence. [9]
\InsFig{modulation}{Signal modulé en fréquences
(croissantes)}{}{0.8}
\InsFig{tempsfrequence}{Représentation temps-fréquence du signal
modulé}{}{0.4}
\subsection{La transformée en ondelettes (Wavelet Transform)}
La transformée en ondelettes remplace la sinusoïde de la
transformée de Fourier par une famille de translations et
dilatations d'une même fonction : l'ondelette. Les paramètres de
translation u et de dilatation s sont les deux arguments de la
transformée en ondelettes. C'est une représentation temps-échelle
que l'on peut assimiler à une représentation temps-fréquence
[3,9].
\subsubsection{Principe}
La transformée en ondelettes est définie par :
$$Wf(u,s)=\int_{-\infty}^{+\infty}
f(t)\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})dt$$ Où l'atome de base
$\psi$ est une fonction de moyenne nulle, centrée au voisinage de
0 et d'énergie finie. La famille de vecteurs est obtenue par
translation et dilatation de l'atome de base:
$\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})$ \newline La
fonction précédente est centrée au voisinage de u, comme l'atome
de Fourier fenêtré. Si le centre de fréquence de $\psi$ est $\eta$
, le centre de fréquence de la fonction dilatée est en
$\frac{\eta}{s}$ . L'écart type en temps est proportionnel à s.
L'écart type en fréquence est inversement proportionnel à s. Voici
un exemple de boîtes de Heisenberg d'atomes d'ondelettes:
\InsFig{heisenberg}{Principe de la représentation en
Ondelettes}{}{0.65}
Aux échelles plus fines, on peut "entasser" plus de boîtes de
Heisenberg côte à côte car la résolution temporelle est meilleure.
\subsubsection{Scalogramme}
En notant $\eta$ le centre de fréquence de l'ondelette
élémentaire, le centre de fréquence d'une ondelette dilatée est
$\frac{\eta}{s}$. Le scalogramme d'un signal est défini par
:\newline
$$P_Wf(u,\xi)=|Wf(u,s)|^2=|Wf(u,\frac{\eta}{\xi})|^2$$
En ce qui concerne la transformée en ondelette continue, une
ondelette est une fonction d'énergie finie et de moyenne nulle.
Outre sa boîte de Heisenberg, la propriété la plus d'importante
d'une ondelette est le nombre de ses moments nuls:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(t)dt=0$$ pour $0\leq k \leq n$
La nullité des moments d'une ondelette permet d'analyser la
régularité locale d'un signal.
\subsubsection{Exemple d'ondelette mère : Morlet}
Certaines applications ont de meilleurs résultats avec une
ondelette mère qu'avec une autre. Par exemple pour la détection de
discontinuités, l'ondelette appelée " chapeau mexicain " a de
meilleurs résultats. L'ondelette de Morlet (gaussienne modulée)
est aussi bien utilisée pour l'analyse de parole que pour
l'analyse de signaux sismiques. Les deux conviennent parfaitement
pour des signaux très amortis. Ce sont des ondelettes complexes
(l'information de phase est conservée).
On définit l'ondelette de Morlet par :
$\psi(t)=e^{j\omega_ot}e^{\frac{-t^2}{2}}$ de transformée de
Fourier $
\Psi(\omega)=\sqrt(2)e^{\frac{-(\omega-\omega_0)^2}{2}}$.\newline
L'ondelette fille est:
$\psi_{(u,s)}=\frac{1}{\sqrt{s}}\psi^*(\frac{t-u}{s})=\frac{1}{\sqrt{s}}e^{j\omega_o(\frac{t-u}{s})}e^{0.5(\frac{t-u}{s})^2}$
\InsFig{Morlet1}{partie réelle et partie
imaginaire de l'ondelette de Morlet (signal temporel)}{}{0.6} Elle
n'a pas de moyenne nulle (sur la transformée de Fourier de
l'ondelette, il y a une composante DC avec une valeur de 10-6,
$\omega_o=5.486$ rad/s. On utilise couramment une valeur entre 5
et 6 [9]. Cette ondelette est donc admissible pour de très petites
valeurs de DC.\newline \InsFig{Morlet2}{domaine fréquentiel de
l'ondelette de Morlet}{}{0.4} Par exemple: $x(t)=\sin(40\pi
t)e^{-100\pi(t-0.2)^2}+[\sin(40\pi t)+2\sin(160\pi t)e^{-50\pi
(t-0.5)^2}+2\sin(160\pi t)e^{-100\pi(t-0.8)^2}]$, obtenu avec 2048
échantillons de la gamme [0;2]. \InsFig{scalomorlet}{Scalogramme
de x(t) calculé avec une ondelette de Morlet}{}{0.9}
La relation entre le paramètre d'échelle et la fréquence est
donnée par:\newline
$$f_x=\frac{f_0f_e}{sf_w}$$ \newline Avec s l'échelle, $f_x$ la
fréquence d'analyse, $f_e$ la fréquence d'échantillonnage du
signal et $f_w$ la fréquence d'échantillonnage de l'ondelette
[5,6].
\newpage
\subsection{Analyse de régularité}
L'analyse de Fourier permet de caractériser la régularité globale
d'une fonction [3]. La transformée en ondelettes permet d'analyser
la régularité ponctuelle d'une fonction. \InsFig{regularite}{En
haut le signal et en bas le module de sa transformée en ondelettes
}{}{0.6} La transformée en ondelettes est calculée avec la dérivée
d'une gaussienne. Les échelles les plus fines sont en haut. Les
coefficients nuls correspondent à du gris moyen. Les parties
régulières sont donc en gris moyen. On peut remarquer la trace
conique des singularités isolées.
\subsection{Détection de singularités}
Les maxima du module de la transformée en ondelettes sont liés aux
singularités du signal. Plus précisément, le théorème de Hwang et
Mallat [3] montre qu'il ne peut y avoir de singularité sans
maximum local de la transformée en ondelettes dans les échelles
fines. Ce théorème indique la présence d'un maximum dans les
échelles fines en cas de singularité. En général, on détecte une
suite de modules maximaux convergeant vers la singularité. Voici
les modules maximaux de l'exemple précédent:
\InsFig{singularite}{Mise en évidence des lignes de maxima (en
jaune)}{}{0.6} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un
moniteur en niveau de gris). Comme log2(s) est
>=0 du fait de la discrétisation, on se limite à $log_2(s)\geq 1$
sur les ondelettes pour rester dans le cadre de l'approximation
continue. Le taux de décroissance des maxima le long des courbes
indique l'ordre des singularités isolées (c'est une conséquence
des théorèmes précédents étendus à l'intervalle):
$$\log_2|Wf(u,s)|\leq \log_2 A+(\alpha+\frac{1}{2})\log_2 s$$
Graphiquement, on trace les modules maximaux en fonction de
l'échelle dans un diagramme log-log, et la pente donne l'ordre de
singularité estimé. Les courbes de la figure 2.13 sont
représentées pour deux singularités: en trait plein, pour la
singularité en t=14, et en pointillés pour la singularité en
t=108. Les échelles fines sont à gauche.
\InsFig{exposant}{l'exposant de Lipschitz $\alpha$ est la pente
}{}{0.35} Les maxima sont en jaune (gris clair sur un moniteur en
niveau de gris) Pour t=14, la pente vaut 1/2, et donc la fonction
y est Lipschitz 0, c'est-à-dire une discontinuité. En t=108, on a
à peu près une pente de 1, et donc la fonction y est Lipschitz
1/2.
\newpage
\end{sloppypar}
Dépendances logicielles:
Autres Commentaires:
_______________________________________________
Message sent via/by Savannah
http://savannah.gnu.org/
_______________________________________________
Savannah-hackers mailing list
[EMAIL PROTECTED]
http://mail.gnu.org/mailman/listinfo/savannah-hackers
