Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de p > Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução.
Bem, o que eu consigo pensar é em algo desse tipo. Sabemos que tan(m+n) = (tan(m) + tan(n))/(1-tan(m)* tan(n)) Escrevamos tan(nX)=p(n)/q(n), onde p e q são polinômios em t=tan(X). Temos então a seguinte recorrência: p(1)=t; p(n+1)=p(n)+tq(n) q(1)=1; q(n+1)=-tp(n)+q(n) Jogando aqui e ali, temos p(1)=t; p(2)=2t; p(n+2)=2p(n+1)-(t^2+1)p(n) q(1)=1; q(2)=1-t^2; q(n+2)=2q(n+1)-(t^2+1)q(n) De cara, se nota que p sempre será múltiplo de p, e que q sempre deixa resto 1 módulo t, o que já dá uma pista do que procurar... Decerto, vai aparecer alguma coisa do tipo x^2+1, e com isso se usa o fato de p ser primo da forma 4k-1... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
