Num outro grupo, propuseram o problema de achar o número de matrizes 4x4
com entradas em {0,1} e cujo determinante seja ímpar.
Olhando mod 2, isso é equivalente a achar o número de matrizes 4x4
invertíveis com entradas em Z2 (o corpo com 2 elementos).
Este é um resultado conhecido: o número de tais matrizes é
(2^4-1)(2^4-2)(2^4-2^2)(2^4-2^3) = 15*14*12*8 = 20.160.
Provar isso pode ser um bom problema pra quem não conhece o "truque" (que
nada mais é do que usar uma caracterização alternativa de "matriz
invertível").
Daí surgiram duas dúvidas:
1) Quais os valores possíveis do determinante desta matriz?
2) Quantas matrizes existem com cada valor possível do determinante?
Não é difícil fazer um programa de computador pra calcular isso (afinal,
existem apenas 2^16 = 65.536 matrizes 4x4 com entradas em {0,1}).
Mas será que há uma forma "esperta" de calcular isso?
E que seja generalizável pra matrizes nxn?
[]s,
Claudio.
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acredita-se estar livre de perigo.
