Em sáb., 13 de fev. de 2021 às 17:56, Jeferson Almir < [email protected]> escreveu:
> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando formalizar algumas inducoes marotas. Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, nunca o final dela. Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos componentes diferir. Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. Desta forma, é possível gerar de maneira unica qualquer numero racional comecando do 1. - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o comprimento de maneira irreversivel. - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
