Olá, eu estava fazendo esse exercício : " . (OBM 2005) Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b, prove que existe um inteiro positivo x tal que a^x + x ≡ b (mod c)."
Eu pensei nessa solução, mas eu tenho quase certeza que ela está errada... "Primeiramente , suponhamos c primo. Desse modo, se escolhermos x tal que x ≡ 0 (mod c - 1) , teremos a^x + x ≡ 1 + x <=> x ≡ b - 1 (mod c) (pelo teorema de fermat) . Teríamos o sistema de congruências: x ≡ 0 ( mod c) x ≡ b - 1 (mod c-1) Como c e c-1 são primos entre sí, pelo teorema chinês do resto esse sistema infinitas soluções. Agora, suponhamos c composto. Como um número composto é nada mais que o produto de uma quantidade finita de primos, podemos chamar todos os primos divisores de c como p1, p2, p3 ... pn . Forçando x ≡ b - 1 (mod pi) para qualquer pi divisor primo de c, montamos o sistema de congruências: x ≡ 0 (mod p1 - 1) x ≡ b - 1 (mod p1) ................. x ≡ 0 (mod pn - 1) x ≡ b - 1 (mod pn) O único empecilho para o teorema é que pj - 1 e ph - 1 ( com j e h inteiros 1 <= j <= h <= n) possivelmente terão múltiplos em comum. Para anular esse problema, basta fazer com que x seja múltiplo de p1 - 1, p2 - 1 ..... pn - 1,e chamando de Z o produto de todos esses números, podemos construir: x ≡ b - 1 (mod p1) x ≡ b - 1( mod p2) ............ x ≡ b - 1 (mod pn) x ≡ 0 (mod Z) Como p1, p2 , ... pn e Z são primos entre si, o sistema sempre terá infinitas soluções pelo teorema chinês do resto Dessa forma, comprovamos o enunciado" Se ela estiver errada( o que eu tenho quase certeza) , alguém poderia, por favor, me falar por que ? Agradeço pela ajuda e pelo tempo por ler este email gigante kkkk
