Encontre todos os (k,n), k,n pertencentes à Z+, tal que k!=
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))
Gostaria de saber se está correto?
Como os dois termos iniciais são consecutivos, é intuitivo que haja
baixíssima probabilidade de termos respostas que não sejam as triviais, com
um ou dois fatores.
(1,1) ==> 1! = 2-1 correto! e (3,2) --> 3!= 3*2, correto!
Para n= 3 temos k!= 7*6*4 com um fator 7 e não temos um 5, não atende.
Para n=4 temos k!=15*14*12*8=20160, mas 7! <2 0.060 < 8!;não atende.
G(n) = (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) ==> G(n+1)=
(2^(n+1) -1)**G(n)2^n
Vamos mostrar por absurdo que k! <>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))para qualquer n>=5.
Seja , por hipótese, k! =
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))e n>=5.
Fica claro que 2^i || (2^n-2î) com n>i e n, i inteiros.
Então obtém-se uma P.A. para o expoente da fatoração de cada termo do
produto, nos levando a: k!=2^((n-1)*n/2)*m, com m ímpar.Ou seja, a
fatoração de k! tem como o expoente de 2, a= (n-1)*n/2
Todavia, por contagem é muito simples chegar-se a: a=
[k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...; Note que embora haja uma infinidade de
parcela, haverá um j, tal que 2^j>k e a partir desse termo todas as
parcelas irão zerar. Onde [x] representa, parte inteira de x.
a= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+ ...[k/2^(j-1] <
[k/2]+[k/4] + ...+[k/2^(j-1)] + k/2^j + k/2^(j+1)+ k/2^(j+2+....< k/2 + k/4
+ k/8 + k/16+...= k ==>
==> k>a ==> k>= (a+1), já que k e a são inteiros. então k! >=(a+1)!
Vamos por indução.
Para n=5 a=10 e k!>=11! > 31*30*28*24*16=k!, por hipótese; k! >k!, absurdo.
Se k!>=(a+1)! > (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) para
n>=5
temos F=((n-1)*n/2+1)*(n-1)*n/2*((n-1)*n/2-1)*...2*1>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)=P
Para n+1
k! >= (a+1)! >
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)*....*((n-1)*n/2+2)*F>(2^(n+1)-1)*2*(2^n-1)*2(2^n-2)*...*2*(2^n-2(n-1)=
(2^(n+1)-1)*2^n*P
Mas como F> P se mostramos que
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)*....*((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^n,
está provado.
O lado esquerdo é composto de n fatores todos maiores que o último que é
maior ou igual 12, para n=5.
O lado esquerdo é menor que 2^(2n+1)
Como 12^n= 3^n*2^2^n > 2* 2^2n > 2^n*(2^(n+1)*2^n,==>
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)*....*((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^.
então k!>k!, absurdo. Não existem soluções para k>=5. E como só existiam
duas para k<5, temos S= {(1,1);(3,2)}
Saudações,
PJMS
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
