Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes por -1 não altera as raízes). f(-1) = 4*raiz(2) > 0 f(0) = -1 < 0 f(raiz(2)) = -5 < 0 f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas são as únicas raízes reais de f. Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta Im(z) = -Re(z). Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o quadrante.
Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário negativo A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = -Re(z) (2) (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R (2) também implica que, sobre a e b: OU ambos pertencem ao 2o quadrante OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante OU ambos pertencem ao 4o quadrante. De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. Resta eliminar a 1a alternativa. Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > 2*R^2 E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> 1/q - q + 2p^2 = 0 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem ao 2o quadrante. Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. []s, Claudio. On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < [email protected]> wrote: > Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da > equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e > percebi que existe uma em cada quadrante. > > Mas não consigo achar uma saída. > > Obrigado. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
