Eu até tentei por esse caminho, mas só fui até aqui.
f(x_1,...,x_n) = x_1³ + ... + x_n³
g(x_1,...,x_n) = x_1² + ... + x_n²
h(x_1,...,x_n) = x_1 + ... + x_n
∇f(x_1,...,x_n) + λ∇g(x_1,...,x_n) + μ∇h(x_1,...,x_n) = 0
3x_1² + 2λx_1 + μ = 0
.
.
.
3x_n² + 2λx_n + μ = 0
Somando-as, temos que :
3(x_1² + ... x_n²) + 2λ(x_1 + ... +x_n) + nμ = 0
3 * 1 + 2λ* 0 + nμ = 0
3 + nμ = 0
Depois disso não sei como continuar.
Em sex, 13 de dez de 2019 02:05, Pedro Angelo <[email protected]>
escreveu:
> Fiz as contas (multiplicador de lagrange, parece muita conta mas é bem
> fazível) e é isso mesmo. Se eu não errei nada, fica
>
> k = 1 / raíz[ n (n-1) ]
>
> e a resposta é que o máximo possível para a soma dos cubos é:
>
> (1 - 2/n) / (1 - 1/n)^(1/2)
>
> que curiosamente é uma função crescente de n. Não está definida para
> n=1 (de fato, o problema {x=0, x^2=1} é impossível), vale zero para
> n=2 (trivial de verificar diretamente), e tende a 1 à medida que n
> cresce. Suponho que haja alguma lição interessante a ser aprendida
> disso? Ou é só um monte de conta e ponto final? rsrsrs
>
> Le jeu. 12 déc. 2019 à 22:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> <[email protected]> a écrit :
> >
> > On Thu, Dec 12, 2019 at 6:49 PM Esdras Muniz <[email protected]>
> wrote:
> > >
> > > Isso aí pode ir para o infinito: tome k real positivo arbitrário. Daí
> tome:
> > > (-k)+(-k)+...+(-k)+(n-1)k=0
> > > (-k)^3+(-k)^3+...+(-k)^3+((n-1)k)^3=k^3((n-1)^3-(n-1)).
> > > Esse último fator vai pra o infinito com k.
> >
> > A soma dos quadrados é um. O máximo (e o mínimo) existem e são
> > finitos. Acredito que a resposta certa segue sua ideia (aliás, não é
> > a primeira vez que este problema aparece aqui), apenas fixando k tal
> > que a soma dos quadrados seja um. Mas poderia ser diferente, e não
> > parei para pensar.
> >
> > >> Em seg., 9 de dez. de 2019 às 20:29, gilberto azevedo
> > >> <[email protected]> escreveu:
> > >> >
> > >> > Sabendo que :
> > >> > x_1 + ... + x_n = 0
> > >> > x_1 ² + ... + x_n ² = 1
> > >> > Qual o valor máximo de x_1 ³ + ... + x_n ³ ?
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
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> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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