Boa tarde! Caso n seja par está resolvido. Pois, sobrará uma quantidade ímpar de casas e portanto não há como serem iguais em quantidade.
Caso n ímpar. Uma das cores prevalecerá. Suponhamos que tenhamos X de uma cor e X + k da outra com 2X+k=n^2 e k>0 Nós temos n^2 formas de tirar uma linha e uma coluna. Cada vez que tiramos uma linha e uma coluna, tiramos 2n-1 casas. Para que fique igual temos que tirar x da que tem menor quantidade e x+K da que tem mais, e 2x+k = 2n-1. Vamos fazer a seguinte varredura. Para cada coluna vamos varrer todas as n linhas. Então tiraremos n^2 cores idênticas a iniciais e (n-1) as cores da primeira coluna, depois n^2 cores idênticas a iniciais e (n-1) as cores da segunda coluna... Ao final tiraremos n conjuntos de cores iguais as n^2 iniciais + (n-1) conjuntos iguais ao iniciais. Ou seja: (2n-1) conjuntos idênticos ao inicial. O que acarreta em (2n-1) X de uma cor e (2n-1) (X+k) de outra apresentando uma diferença de (2n-1)K. Para que em todas essas retiradas (uma linha e uma coluna) sobrem cores idênticas é necessário se retirar de cada vez x da cor em menor quantidade e x + k da maior, onde 2x+k = 2n-1, todas as vezes. Há n^2 possibilidades de tirar uma linha e uma coluna portanto serão retiradas n^2(2n-1), como já visto, só que n^2* (x+k) e n^2(x), o que dá uma diferença de n^2k. Mas pelo outro método dava (2n-1)k ==> n^2 =2n-1 ==> n= 1 absurdo, pois n>1. Portanto, em alguma retirada sobrarão mais de uma cor que de outra. Saudações, PJMS. Em qui, 4 de abr de 2019 às 01:06, Gabriel Lopes <[email protected]> escreveu: > Seja *n>1* um inteiro e considere um tabuleiro *nxn*, em que algumas das > *n²* casas foram pintadas de pretos, e as restantes foram pintadas de > branco. Prove que é possível escolhermos uma das *n²* casas do tabuleiro, > de modo que, ao removermos completamente a linha e a coluna que a contém, > haja um número diferente de casas pretas e de casas brancas, dentre as > *(n-1)².* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
