Em seg, 11 de mar de 2019 às 09:27, Eduardo Wagner <[email protected]> escreveu:
> Analítica. Adote AE como unidade de comprimento. > Resp: PQ/QR = 7/5 > > Em sáb, 9 de mar de 2019 às 12:40, Anderson Torres < > [email protected]> escreveu: > >> >> >> >> Em qui, 7 de mar de 2019 às 07:47, Vanderlei Nemitz < >> [email protected]> escreveu: >> >>> Só enxerguei uma saída usando geometria analítica. Alguma ideia? >>> Muito obrigado! >>> >>> *Dado um triângulo ABC, com Â= 90º, D é o ponto médio de BC, F é o ponto >>> médio de AB, E é o ponto médio de AF e G o ponto médio de FB. AD intersecta >>> CE, CF, CG em P, Q e R respectivamente. Determine a razão PQ/QR.* >>> >>> >> A ideia que pensei foi usar Razão Cruzada. >> >> https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml >> Mas só isso não vai adiantar. >> >> Bem, agora vou tentar de novo: Vou usar o Teorema de Van Obel, que você pode provar por homotetia e uma reta paralela: Dadas as cevianas AX, BY e CZ, que cruzam em O, temos AO/OX=AZ/ZB+AY/YC. Agora, para nosso problema: BP,BQ, BR cortam AC em X,Y,Z respectivamente. Usando Ceva nos pontos P,Q,R respectivamente, obtemos, basicamente, AX:XY:YZ:ZC=1:1:1:1, da mesma forma que AE:EF:FG:GB=1:1:1:1 Temos: - AP/PD = AX/XC + AE/EB = 1/3+1/3, ou AP:PD = 2:3 - AQ/QD = AY/YC + AF/FB = 1/1+1/1, ou AQ:QD = 2:1 - AR/RD = AZ/ZC + AG/GB = 3/1+3/1, ou AR:RD = 6:1 Com essas infos, já dá para resolver o problema - é um monte de equações. Minha ideia aqui foi a seguinte: A primeira fração sugere dividir o segmento AD em cinco partes; a segunda, em três; e a terceira, em sete. Assim, vamos dividir o segmento em 5*3*7=105 partes. Trabalhando do menor para o maior: AR:RD = 6:1; logo, RD tem 1/7 do tamanho de AD, ou RD=15. AQ:QD = 2:1; logo, QD tem 1/3 do tamanho de AD, ou QD=35, e daí, QR=20. AP:PD = 2:3; logo, PD tem 2/5 do tamanho de AD, ou PD=63, e daí PQ=28 Com isso, PQ:QR=28:20, mais conhecido como 7/5 ou 14%. Fato interessante: em momento algum foi usado o fato que o triângulo era retângulo. Logo, isso vale para qualquer triângulo ABC. Fato mais ou menos interessante: uma transformação afim poderia ser usada para tratar esta triângulo ABC como o indefectível 90-45-45, ou quem sabe o 60-60-60. Acho que com algum argumento de simetria e áreas é possível obter uma solução fácil para esse caso particular. > >> >>> >>> >>> >>> >>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> >>> Livre >>> de vírus. www.avast.com >>> <https://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. >>> >>> <#m_-4863617944384841879_m_5191055488509645045_m_3774298393707173559_m_6555290746475537769_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
