Oi Luís, e demais colegas da lista.
On Tue, Nov 5, 2019 at 4:43 PM Luís Lopes <[email protected]> wrote:
> Considere o polinômio
>
> p(x)[h,m,s] = 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x +
> (4m^2 - s^2)^2 .
>
> Fiz alguns testes para ver se p(x) pode ter suas raízes construtíveis. Esse
> polinômio aparece
> na construção do triângulo dados <a+b,h_a,m_b>.
>
> [...]
>
> Só testei para h,m,s > 0 mas se não errei nessas contas parece que podemos
> fatorar p(x)[h,m,s] como
>
> 9x^4 + 12s x^3 + 2(8h^2 - 20m^2 - s^2)x^2 + 4s(4m^2 - s^2)x + (4m^2 - s^2)^2
> = (Ax^2 + Bx + C)(Dx^2 + Ex + F) com os coeficientes A,B,... F construtíveis.
>
> Daria para calcular os coeficientes dos dois polinômios do segundo grau em
> função de h,m,s ?
Se não errei contas (e se o meu computador também não errou...), acho que sim.
Tome A = D = 3 (para eliminar algumas das variáveis).
Depois, observe que o quadrado Y^2 no termo independente poderia ser
fatorado como CF = Y^2 = (uY)*(Y/u), introduzindo uma nova variável u
e substituindo C e F.
(se Y = 0, a equação só tem os termos de grau 2 e maiores, o que
também é fatorável, só que de outra forma; com Y != 0, C e F são
diferentes de zero, e u está justificada)
Além disso, a equação do termo x^3 dá 12s = 3B + 3E, o que permite
eliminar B, sobrando apenas E e u.
Agora, vem uma última coincidência: o termo Y = (4m^2 - s^2) também
aparece no termo de primeiro grau, o que permite fatorar Y na equação
entre os termos multiplicando x:
4sY = BF + CE = BY/u + uYE se torna 4s = B/u + uE.
Mas então B + E = 4s = B/u + uE <=> B(1 - 1/u) = E(u - 1). Se u = 1,
veja mais abaixo, senão isso dá B(u-1)/u = E(u-1) <=> B = uE.
Juntando com B + E = 4s de volta, temos (u + 1)E = 4s, o que permite eliminar u.
Juntando tudo, temos
(3x^2 + uE + uY)(3x^2 + E + Y/u) = seu polinômio, e temos ("de fato")
apenas uma incógnita.
Aí eu pedi para o computador calcular as raízes E do polinômio (de
quarto grau) que fica determinado pela equação do termo x^2.
Deu o seguinte:
2*s +/- 2*sqrt(2)*sqrt(-h**2 + m**2 + s**2 +/- sqrt(h**4 - 2*h**2*m**2
- h**2*s**2 + m**4 - 2*m**2*s**2 + s**4))
Se você chamar T = m^2 + s^2 - h^2, dá para ficar mais bonitinho:
2s +/- 2sqrt(2)*sqrt(T +/- sqrt(T^2 - 4 m^2 s^2))
(Curiosamente, o polinômio em E também é irredutível segundo o meu
computador, mas ele consegue achar as raízes...)
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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