Pense um pouco sobre g(x)=f(x+1)-f(x), essa questão é bem tricky, o segredo é que a g satisfaz as condições da questão, logo, por indução, vale que g(n) é maior ou igual a dois elevado a n menos um, mas isto implica que o mesmo vale para f(n+1), completando a indução (tem que pensar bastante para sacar a ideia).
Em qua, 30 de out de 2019 13:47, Lucas Dantas <[email protected]> escreveu: > Meu grupo da faculdade estamos com dificuldade de resolver o problema 5 da > segunda fase da OBM-U 2018. > > Enunciado: Sejam R+ o conjunto dos números reais positivos e f:R+->R+ uma > função infinitamente diferenciável tal que: > > 1) Para todo k inteiro positivo e para todo real positivo x, f^(k)(x)>0 . > (Onde f^(k) representa a k-esima derivada). > > 2) para todo m inteiro positivo, f(m) é inteiro positivo. > > Prove que para todo inteiro positivo n, f(n)>= 2^(n-1) > > > > Estávamos pensando que qualquer função com todas as derivadas positivas > cresceria mais rápido que uma exponencial do tipo b^x com uma base maior > que um. Mas daí conseguimos o contraexemplo vish(sqrt(x)). Agora estamos > pensando em pensar em algo do tipo que f(x+1)>=2f(x). Mas mesmo assim não > sei como continuar. Se alguém tiver alguma sugestão de como resolver ou > alguma ideia pra nos ajudar. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
