Essa sua prova vale tmbm para o caso em que as raízes são complexas? <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> Livre de vírus. www.avg.com <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. <#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
Em sáb, 26 de out de 2019 às 10:07, Israel Meireles Chrisostomo < [email protected]> escreveu: > Vc precisou usar o TFA para provar isso? > > > <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> > Livre > de vírus. www.avg.com > <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. > <#m_7765390292055441037_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> > > Em sáb, 26 de out de 2019 às 09:52, Israel Meireles Chrisostomo < > [email protected]> escreveu: > >> Muito obrigado!!! >> >> Em sex, 25 de out de 2019 às 21:39, Pedro Angelo <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar. >>> >>> Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então >>> P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1. >>> Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem >>> ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de >>> P. Você vai descobrir que: >>> q_{N-1} = p_N >>> q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N >>> ... >>> q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N >>> -a*q_0 = p_0 >>> Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0, >>> você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que >>> isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau >>> de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P. >>> >>> Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1, >>> ..., a_N. Bom, então, para começar: >>> P(x) = (x - a_1)*Q(x). >>> Como a_2 também é raíz de P: >>> 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2) >>> Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue >>> que Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado >>> em (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto: >>> P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x) >>> Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos: >>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A >>> onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o >>> coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual >>> ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a >>> constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do >>> polinômio original P. >>> >>> Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N >>> raízes distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte >>> forma: >>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N. >>> Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os >>> fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou >>> seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes >>> distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas. >>> >>> >>> Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo < >>> [email protected]> a écrit : >>> >>>> >>>> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo >>>> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais? >>>> -- >>>> Israel Meireles Chrisostomo >>>> >>>> >>>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> >>>> Livre >>>> de vírus. www.avg.com >>>> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>. >>>> >>>> <#m_7765390292055441037_m_-6226622478292538325_m_4316556281902739357_m_8824745352040677824_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
