Muito obrigado, Claudio! Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante!
Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara <[email protected]> escreveu: > Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo > engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1". > Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma > 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n. > Por exemplo, sabemos que: > 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... + > 1/(n-2) + 1/(n-1) > (pra ver isso, faça o gráfico) > Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) + > 1/n. > Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que: > log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==> > log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==> > n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==> > n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1 > > Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica: > 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1 > 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62. > E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128 > > Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não > há nenhum k (inteiro) no intervalo. > No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k > desejado é 125. > > De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1, > pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4. > Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0. > > Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz <[email protected]> > wrote: > >> Bom dia! >> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n + >> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do >> que 1? >> >> Muito obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
