f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==> f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==> f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==> f'(x) é divisível por (x - 1)^3
Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é divisível por (x + 1)^3. Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3 = A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A. f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) + k, para algum k. Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1. f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1 f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1 Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16 e k = 0 ==> f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==> f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x (salvo algum erro de conta...) Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal. []s, Claudio. On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada < [email protected]> wrote: > Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e > de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por > (x − 1)^4 > e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4. > > Douglas Oliveira. > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
