Bom dia! Alguém poderia postar uma solução de um problema da XXII olimpiada, mais especificamente o item b) :Dizemos que um número inteiro positivo é qua-divi se é divisível pela soma dos quadrados de seus dígitos, e além disso nenhum de seus dígitos é igual a zero. a) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja 24. b) Encontre um número qua-divi tal que a soma de seus dígitos seja 1001.
Creio ter conseguido, mas foi de orelhada. Gostaria de ver uma solução mais balizada. Criei um número com fatores congruentes a 1 mod 6, exceto o 5 e o11. Além disso a ordem de 10 mod desses fatores é sempre 6, exceto o 5(que não tem ordem 10 mod5) e o 11 que será 2, melhor. Mas o 5 não tem problema. Então o objetivo é formar um número da seguinte forma: AAAA...ABBBBB...BCCCC...C concatenado com o número criado, mencionado anteriormente. O número criado foi: 84.259.175 = 5^2*7^2*11*13^2*37 Então a soma dos algarismos desse número é 41 e dos quadrados de seus algarismos é 265. No número que pretendo formar o número de algarismos em bloco será múltiplo de 6. Então fica o sistema para apenas dois blocos: ax+by= (1001-41)/6=160 a^2*x +b^2*y=(S2 -265)/6. Onde x e y é a quantidade de repetições de blocos de 6 algarismos e a e b são os algarismos e S2 é a soma dos quadrados de todos dígitos. Agora preciso criar S2 que feche com o problema. Tem que ser 1 mod 6, para quando subtrair 265, ser divisível por 6. Deve ser um divisor do número criado no início. 5^2*7^2*11*13^2*37. Seja S2=5005=5*7*11*13 xa+yb=160 xa^2+yb^2= (5005-265)/6=790. Como 6| 790 - 160, 1 e 3 formam uma boa escolha, mas infortunadamente, o número de blocos de 1 dá negativo. Então introduzi 9 blocos de 8 para acertar, já que há liberdade. Aí dão 9 blocos de 8, 25 blocos de 1 e 21 blocos de três, concatenado ao final com 84.259.175. É o número fica. 10^274*8*(10^54-1)/9+10^124*(10^150-1)/9+10^8*3*(10^126)/9+ 5^2*7^2*11*13^2*17. Como 10^6 =1 mod p, com p=7 ou p=11 ou p= 13 e 5 |10, S2=5*7*11*13, S2 divide cada parcela e portanto o número. O número são 54 algarismos 8, seguidos de 150 algarismos 1,seguidos de126 algarismos 3 seguidos de 84259175. Sem ser o 84259175 que tem que ser assim ao final, ainda atendem todas as permutações dos blocos de 6: 67! /(9!.25!.23!) Saudações, PJMS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
