Boa tarde! No primeiro pode-se aplicar a função sen nos dois lados. sen(2-x^2) = x/2 ==> x pertence a [-2,2] Estudando o intervalo [0,2] x/2 é monótona crescente e positiva. sen(2-x^2) é monotóna decrescente no intervalo [0, pi/2] e monótona crescente no intervalo (pi/2,2], porém, é sempre negativa nesse último intervalo.
Como x/2 = 0 e sen(2-x^2) = sen(2) para x=0 e x/2 = Raiz(2)/2 e sen(2-x^2) = 0 para x = raiz(2), já que as funções são contínuas, só existe uma raiz no intervalo [0,2] e essa raiz está em (0,raiz(2)). podemos definir f(x) = sen(2-x^2) - x/2 e como o intervalo é curto, usar pesquisa binária. (usando derivada para ver onde a reta tangente a um ponto da curva corta o eixo OX creio que convergirá mais rápido). Mas não disponho de nenhuma linguagem de programação. f(0)= sen(2)>0 e f(raiz(2)= -raiz(2)/2<0, f(raiz(2)/2) = 0,644 >0; logo está no intervalo (raiz(2)/2;raiz(2)) f(3raiz(2)/4) =0,237 >0; logo está no intervalo.(3raiz(2)/4;raiz(2)) f(7raiz(2)/8) = -0,1669 <0; logo está no intervalo (3raiz(2)/4;7raiz(2)/8) f(13raiz(2)/16)= 0,054 >0; logo está no intervalo (13 raiz(2)/16; 7 raiz(2)/8) f(27raiz(2)/32) = -0,0518 <0; logo...(13 raiz(2)/16; 27 raiz(2)/32) f(53raiz(2)/64)= 0,003 > 0 logo ... (27 raiz(2)/32;53raiz(2)/64) f(107raiz(2)/128)= -0,0245 <0 logo (53raiz(2)/64;107raiz(2)/128) f(213raiz(2)/256)= -0,011 < 0 logo ... (53raiz(2)/64;213raiz(2)/256) f(425raiz(2)/512) = -0,0043 logo...(53raiz(2)/64;425raiz(2)/512) A amplitude do intervalo é de 0,2358% de 53raiz(2)/64. Já é suficiente aproximar a raiz pela média x= 849raiz(2)/1024=1,172527. Mas se você dispor de alguma linguagem de programação, basta fazer um do while e usar uma restrição maior, ou seja erro menor e você obterá algo mais preciso. y= (arcsin(x/2) + 2-x^2)/2, aplicado em x=1,172527 ==> y= 0,625809629 No intervalo[-2,0) a função é monótona crescente em [-pi/2,0) e monótona decrescente em [-2,-pi/2), porém é maior que zero em todo intervalo [-2,0). Então não há ponto de interseção nesse intervalo. O único ponto de interseção é (1,172527 ; 0,625809629) No segundo caso, aplicando a função e^x nos dois lados, temos que: (x+1)^x =e^(3x-x^2), de imediato vemos x=0 e por conseguinte (0,0) como um ponto de interseção- lembrar que é em referência às curvas iniciais. E por restrição da função ln, temos que x>-1 Para o intervalo (0,oo) temos (x+1)^x é monótona crescente para todo intervalo e e^(3x-x^2) é monótona crescente para (0;1,5] e mónotona decrescente para (1,5; oo). A concavidade de (x+1)^x é para cima em todo intervalo (0,oo). Já e^(3x-x^2) tem a concavidade para cima (0, (3 -raiz(2))/2), concavidade para baixo ((3-raiz(2))/2;(3+raiz(2))/2) e para cima x > (3+raiz(2))/2 No intervalo (0, (3 -raiz(2))/2), pode existir uma raiz ou nenhuma. É fácil perceber que e^(3x-x^2) sai por cima de (x+1)^x. Pois, tanto e> delta como 3x -x^2 > x para 0<x<2. Então para existir uma raiz no intervalo (0, (3 -raiz(2))/2) : e^(3x-x^2) < (x+1)^x para x = (3-raiz(2))/2, o que não acontece. Portanto não há raízes nesse intervalo. Para [(3-raiz(2))/2;(3+raiz(2))/2] pode haver uma única raiz ou nenhuma. e^(3x-x^2) < (x+1)^x para x = (3+raiz(2))/2, então temos uma raiz nesse intervalo. Para x = 1,5 temos e^(3x-x^2)= 9,488 e (x+1)^x= 3,953. Portanto a raiz está em (1,5; (3+raiz(2))/2] Mas é fácil notar que para x=2 e^2 < 3^2 logo a raiz está (1,5; 2). Novamente vou optar pela pesquisa binária, pois embora seja mais lenta, tem convergência garantida, o que precisaria ser estudado para o caso de usar a reta tangente e achar a raiz. x(k+1) = raiz da reta tangente a curva em x(k). Seja f(x) = e^(3x-x^2) - (x+1)^x f(1,75) =3,040 logo a raiz está no intervalo (1,75,2) f(1,875)= 0,9996 logo... (1,875; 2) f(1,9375)= -0,2319 logo... (1,875 ; 1,9375) f(1,90625)= 0,4019 logo ... (1,90625 ; 1,9375) f (1,921875) = 0,0895 logo... (1,921875 ; 1,9375) . f(1,926875) = -0,07007 logo ...(1,921875 ; 1,926875). Novamente a amplitude do intervalo é 0,2032% do limite inferior do intervalo. Já se pode assumir a média como o valor de x. x=1,923828125 y= (x*ln(x+1) +3x-x^2)/2=2,067216 que dá o ponto (1,923828125 ; 2,067216) Como a partir daí uma curva é crescente e a outra decrescente não há mais pontos de interseção. Falta somente o intervalo (-1,0) Mas pelas equações originais é fácil perceber que x.Ln(x+1)>0 pois ambos fatores são negativos já que x+1 <e e 3x-x^2 é menor que zero no intervalo; logo não há pontos de interseção. Os pontos são (0,0) e (1,923828125 ; 2,067216455) O mais interessante seria usar uma linguagem computacional e usar uma restrição mais rigorosa para acabar o Do while ou Do Until, mas segue como ideia. Para amplitudes pequenas de intervalo prefiro a pesquisa binária. E.g., efetuando um loop com 60 passos, você dividiria o intervalo por 1,15292 * 10^18 Para o primeiro caso que era raiz(2) a amplitude, a amplitude do intervalo iria para 1,22663 * 10^-18 para o segundo que amplitude era 0,5 iria para 4,33681 * 10^-19. 60 passos gastam milissegundos. E o método da pesquisa binária converge, não há necessidade de estudo de convergência. Saudações, PJMS Em 2 de maio de 2018 06:24, Bernardo Freitas Paulo da Costa < [email protected]> escreveu: > 2018-05-01 19:19 GMT-03:00 Emanuel Oliveira <[email protected]>: > > Um colega me pediu ajuda nesses exercicios. > > > > 1) ache os pontos de intersecção: > > a) y=arcsin(x/2) e y=2-x^2 > > b)y=x*ln(x+1) e y=3x-x^2 > > Faça o gráfico das funções (basta um esboço, mas você pode, por > exemplo, usar o Wolfram Alpha). Já é um bom caminho para continuar. > Aliás, "continuar" provavelmente quer dizer usar algum método > numérico, mas a própria escolha do método já deveria ser guiada pelo > gráfico, e não feita cegamente. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
