No caso de f(x) = sen(x^2), também podemos fazer assim: Se f for periódica, então f'(x) = 2x cos(x^2) também é. E como f' é' contínua, é limitada. Mas fazendo x_n = raiz(2pi n), n natural, vemos que f'(x_n) = raiz(2pi n) vai para oo com n. Temos assim uma contradição que mostra que f não é periódica.
Artur Costa Steiner Em Sáb, 14 de abr de 2018 20:16, Artur Costa Steiner < [email protected]> escreveu: > Isso é consequência do fato de que x —> sen(x^2) é contínua mas não > uniformemente contínua. > > Artur > > > Enviado do meu iPad > > Em 14 de abr de 2018, à(s) 1:10 PM, Claudio Buffara < > [email protected]> escreveu: > > Que tal começar provando que x --> sen(x^2) não é periódica? > > 2018-04-14 13:04 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: > >> Eu também fiquei inseguro em relação a isso e também notei que não >> usei (pelo menos não explicitamente) a continuidade de f. >> >> Mas g(raiz(x+kT)) = g(raiz(x+(k+1)T) não só para um número x fixo, mas >> para cada x >= -kT: um intervalo infinito. >> Será que isso não é suficiente para estabelecer a periodicidade de g? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-14 11:42 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> [email protected]>: >> >>> Oi Claudio, >>> >>> 2018-04-14 10:54 GMT-03:00 Claudio Buffara <[email protected]>: >>> > f é periódica (digamos, de perÃodo T > 0). >>> > >>> > Suponhamos que g também seja periódica, digamos de perÃodo P. >>> > >>> > Para todo x, e todo k em N tal que x+kT >= 0, g(raiz(x+kT)) = f(x+kT) = >>> > f(x+(k+1)T) = g(raiz(x+(k+1)T)) ==> >>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP, para algum n em N. >>> >>> não é verdade que, se g(x) é periódica, e g(x) = g(y), então x - y >>> é >>> múltiplo do perÃodo. Por exemplo, sin(pi/2 + a) = sin(pi/2 - a), para >>> todo a. >>> >>> > Mas tomando k suficientemente grande, podemos fazer raiz(x+(k+1)T) - >>> > raiz(x+kT) tão pequeno quanto quisermos, em particular < P, o que >>> contraria >>> > raiz(x+(k+1)T) - raiz(x+kT) = nP. >>> >>> Intuitivamente, deve mesmo ter a ver com o que você falou sobre o >>> limite da diferença das raÃzes em PA, mas acho que é um pouco mais >>> complicado. Repare que, no enunciado do Arthur, tem um "f >>> contÃnua"... >>> >>> > 2018-04-12 15:55 GMT-03:00 Artur Steiner < >>> [email protected]>: >>> >> >>> >> Suponhamos que f:R —> R seja contÃnua, periódica e não >>> constante. Mostre >>> >> que g(x) = f(x^2) não é periódica. >>> >> >>> >> Artur >>> >>> Abraços, >>> -- >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>  acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >>> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
