Em Qui, 22 de mar de 2018 14:55, Artur Costa Steiner <[email protected]> escreveu:
> OK! > > Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma > raiz negativa. > > Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a > irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais > estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei > Gelfond Schneider. > > Artur > > Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara < > [email protected]> escreveu: > >> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x ==> x = n^(x/n). >> >> Se x for transcendente, não há o que provar. >> >> Suponhamos, assim, que x seja algébrico. >> >> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> >> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. >> >> n é algébrico diferente de 0 e 1. >> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de >> Gelfond-Schneider (com a = n e b = x/n). >> >> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos >> entre si (e q <> 0). >> Seja log = logaritmo na base n. >> >> Então, log(x) = x/n ==> log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> >> p^(nq) = n^p * q^(nq). >> >> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que >> q = 1 ==> p^n = n^p. >> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o >> que contradiz a hipótese original de ser x <> n. >> Logo, x não pode ser racional, e acabou. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected]>: >> >>> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara < >>> [email protected]> escreveu: >>> >>>> Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x. >>>> >>>> 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner <[email protected] >>>> >: >>>> >>>>> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raÃzes >>>>> reais da equação x^n = n^x são transcendentes. >>>>> >>>>> Artur >>>>> >>>>> Enviado do meu iPad >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>>> >>>>> ========================================================================= >>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>>> >>>>> ========================================================================= >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
