Uma ideia legal Para provar que (-1,1) tem bijeção com R, seria usar f(x) = x/(x^2-1) provando que ela eh injetiva e sobrejetiva
On Jan 16, 2018 01:20, "Anderson Torres" <[email protected]> wrote: > Eu na verdade pensei ao contrário: > > Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto > será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da > seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo > caractere desta string será 1; caso contrário, será 0. > > Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base > 2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento, > admitiremos strings infinitas de 1zes). > > Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um > conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é > 1, escolhe X, caso contrário, despreza X). > > Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o > intervalo [0,1]. > > Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais > chatinho. Dá para pensar geometricamente: > > Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e > tirar 1 (f(x)=2x-1). > > Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem, > isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero > e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número > fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos > convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos. > > Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e > o intervalo [-1,0] em [-inf,-1] > > Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo > [-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados. > Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a > reta! > > E acabou! > Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz > <[email protected]> escreveu: > > Olá Sávio, > > Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu > > bastante. > > Abraços > > > > On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <[email protected]> wrote: > >> > >> Boa tarde! > >> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual > à > >> cardinalidade de [0,1]. > >> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por > >> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR > dada > >> por f(x) = tg(pi*x/2). > >> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que > o > >> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) -> > >> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no > domínio > >> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A = > >> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0, > 1, > >> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x > não > >> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção > >> (verifique). > >> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí, > >> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade. > >> > >> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja > >> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com > infinitas > >> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,11111...). Essa escrita > >> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da > >> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e > somente se > >> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,0000..., IN > corresponde > >> ao 1 = 0,1111... e {2,3,5,7} corresponde a 0,011010100000...). Dessa > forma, > >> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1]. > >> > >> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão > em > >> bijeção com [0,1]. > >> > >> Sávio > >> > >> > >> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" < > [email protected]> > >> escreveu: > >>> > >>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar > >>> hipótese do contínuo) > >>> > >>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é > >>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R| > >>> > >>> > >>> quem puder ajudar, agradeço. > >>> > >>> Abraços > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
