Ola Anselmo. Tenho sugestoes:
1) Na primeira, \sqrt(1-cosx) < ou = \sqrt(2) pois a expressao
\sqrt(1-cosx) assume o seu maior valor quando cosx=-1. Assim,
\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx < ou =
\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{\sqrt(2)}{x^3}} dx =
\sqrt(2)\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1}{x^3}} dx =
\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a {\frac{1}{x^3}}^{1/2} dx =
\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-3/2} dx =
\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [x^{-1/2}/(-1/2) ] =
-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ 1/\sqrt{x}]_1^a =
-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ /\sqrt{a} - /\sqrt{1} ] =
-2\sqrt(2). [ 0-1 ] = 2\sqrt(2) < 3.
2) Essa basta aplicar diretamente a formula:
se F(x)=\int_a(x)^b(x) g(x,y)dy , entao
F'(x) = g(x,b(x)).b'(x) - g(x,a(x)).a'(x) + \int_a(x)^b(x) d/dx
g(x,y)dy
[essa ultima derivada que aparece nessa ultima integral e a derivada
parcial em relacao a x]
No caso da sua questao, a(x)=x , b(x)=\sqrt{x} , g(x,y)= exp(xy^2)/y.
Pronto...faz essas continhas que agora sai...se nao consegir me fala aue
termino p vc, eh que estou num pc com um teclado sem conficuracao em
portugues eh horrivel para digitar...por isso nao pus nenhum acento.
Abraco, Cgomes.
Em 9 de fevereiro de 2017 14:47, Anselmo Alves de Sousa <
[email protected]> escreveu:
> Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
> resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
> perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
> puder resolver, agradeço!
>
> sds,
> Sousa
>
> Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> [email protected]> escreveu:
>
>> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa <[email protected]
>> >:
>> > Solicito auxílio pra resolver:
>> >
>> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>>
>> Ela é claramente finita.
>> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
>> resíduos sai. E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
>> trabalho...
>>
>> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y}
>> dy
>>
>> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil. Você vai ficar
>> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
>> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
>> dentro da integral. A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
>> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
>> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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