Olá Douglas, Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.
No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y]. Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz assim: Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z] f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z] multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a membro, segue que tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R (Faça as contas para conferir!) onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t e f '' são >=0. Assim, tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x) ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. Abraço, Cgomes. Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima < [email protected]> escreveu: > Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão: > > Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa. > > Obs: Não usar geometria. > > Agradeço a ajuda. > > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
