Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <[email protected]> escreveu:
> Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo > > domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou > > igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto, > > para provarmos que: > > > n n+1 > > ( 1 + *1* ) < ( 1 + * 1 * ) > > ( n ) ( n+1 ) > > > basta provar que: > > > ( n) ( n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) < ln( ( 1 + * 1 *) ) > > ( ( n ) ) ( ( n+1) ) . > > > De fato, temos que: > > > ( n) ( n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) – ln( ( 1 +* 1 *) ) = > > ( ( n ) ) (( n + 1) ) > > > ( n) ( n+1) > > ln( ( *n** + 1 *) ) – ln( ( *n** + **2* ) ) = > > ( ( n ) ) ( ( n + 1 ) ) > > > ( 2n ) > > ln( (* n + 1 *) . *n+1* ) ; Das propriedades de logaritmo. > > ( (n (n+2)) n+2 ) > > > Daí: > > > ( n ) > > ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* ) > > ( ( n^2 + 2n ) n+2) > > > Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos que: > > > n > > ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* < 1 > > ( n^2 + 2n ) n+2 > > > E da injetividade da função f temos: > > > ( n ) > > ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* ) < ln(1) = 0 > > ( ( n^2 + 2n ) n+2) > > > Isto é: > > > ( n) ( n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) – ln( ( 1 + *1 *) ) < 0 > > ( ( n ) ) ( ( n+1 ) ) > > > Logo, > > > n n+1 > > ( 1 + *1* ) < ( 1 + *1 *) > > ( n ) ( n+1 ) > > > C.Q.D > > P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor. > ------------------------------ > From: [email protected] > Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300 > Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. > To: [email protected] > > L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) > > Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1) > > L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) > = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. > > > > Esse último termo é maior que 1. > > Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima < > [email protected]> escreveu: > > Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução > daquelas tipo > desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, > tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o > problema das apostas). > Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. > Abraço > Douglas Oliveira > > Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato < > [email protected]> escreveu: > > Oi, Douglas, tudo bem? > > Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está > provada sua desigualdade. > > Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + > 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) > também será (exercício: prove essa afirmação). > > g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 > + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) > > Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. > > Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em > 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. > > Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + > 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 > para todo x (já que 1+1/x > 1). > > Abraços, > Salhab > > 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < > [email protected]>: > > Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade > (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. > > Agradeço desde já. > > > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > >
