Artur Costa Steiner
> Em 12/09/2015, às 02:23, Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]> > escreveu: > > Oi, Artur, boa noite. > > Eu vi seu contra-exemplo e fiquei procurando o erro nessa minha > demonstração. Ainda não entendi o porquê da desigualdade só valer para > um valor particular de a, e não para todo a != 0. > > Se para todos eps > 0 existe M tal que n > M implica em |h(x, n)| < eps, > independente de x, então eu apliquei em x+a e escolhi eps = |a|*eps1. Não > vejo porque isso vale para um valor especÃfico de a. > > Vou tentar aplicar o seu contra-exemplo. Seja h(x, n) = sen(nx)/n, então > |h(x, n)| = |sen(nx)/n| <= 1/n. Logo, se n > M = 2/(|a|*eps), 1/n < 1/M = > |a|*eps e |h(x, n)| < |a|*eps/2, independente de x. > > Assim, |h(x+a, n) - h(x, n)| <= |h(x+a, n)| + |h(x, n)| < |a|*eps. > > Finalmente, para todo a != 0 e eps > 0, existe M = 2/(|a|*eps), tal que n > M > implica em | [sen(n(x+a)) - sen(nx)] / (na) | < eps. > Me parece que o problema está em aplicar lim{a -> 0}, mas ainda não entendi > o motivo. Talvez pq o M depende de a? > > Me ajuda? :) É, de modo geral, M depende de a. Daí, não podemos afirmar que exista uma vizinhança de x na qual |[h(x+a, n) - h(x, n)] / a| < eps1 + eps2 se verifique para todo s na vizinhança. Em razão disto, no caso geral, nada concluímos sobre o que acontece quando a --> 0. Convergência de sequências de derivadas na reta real é algo bem complicado. A convergência, ainda que uniforme, das primitivas, nada implica sobre a convergência das derivadas. O que garante que f_n' --> d/dx (lim f_n) é a convergência uniforme de (f_n)'. Se isto não se verificar, tudo pode acontecer - até a igualdade desejada, em alguns casos. Convergência de integrais é mais amigável. Se as funções f_n forem integráveis no compacto [a, b] e convergirem uniformemente para f, então lim Int [a, b] f_n dx = Int [a, b] f(x) dx. No caso complexo, convergência de sequências de derivadas é também mais amigável. Abraços Artur > > Abraços, > Salhab > > 2015-09-12 1:29 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> >> >> Em sábado, 12 de setembro de 2015, Marcelo Salhab Brogliato >> <[email protected]> escreveu: >>> Oi, Israel, >>> >>> Acho que a melhor representação seria f(x, n) e g(x, n). >>> >>> Assim, sua pergunta seria: >>> Seja h(x, n) = f(x, n) - g(x, n). Prove que, se lim{n->inf} h(x, n) = 0, >>> então lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0. >>> >>> Pela hipótese, sabemos que para todo eps > 0 existe M tal que para todo n >>> > M, |h(x, n)| < eps. >>> >>> Para eps1*|a| > 0, existe M1 tal que n > M1 implica em |h(x+a, n)| < >>> eps1*|a|. >>> Para eps2*|a| > 0, existe M2 tal que n > M2 implica em |h(x, n)| < eps2*|a|. >>> >>> Portanto, para n > max(M1, M2), temos: >>> |h(x+a, n) - h(x, n)| <= |h(x+a, n)| + |h(x, n)| < |a|*(eps1 + eps2) >>> |h(x+a, n) - h(x, n)| < a*(eps1 + eps2) >>> |h(x+a, n) - h(x, n)| / |a| < eps1 + eps2 >>> |[h(x+a, n) - h(x, n)] / a| < eps1 + eps2 >>> >>> Sabemos que dh/dx = lim{a->0} [h(x+a, n) - h(x, n)] / a. >>> Fazendo a -> 0, temos |dh/dx(x, a)| < eps1 + eps2, para n > max(M1, M2). >>> >>> Portanto, lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0. >> >> Esta conclusão final na realidade não vigora, pois |[h(x+a, n) - h(x, >> n)] / a| < eps1 + eps2 só vale para um valor particular de a. Não é >> possÃvel afirmar que valha para todo a > 0, logo, ao fazermos a --> 0, nada >> podemos ckncluir. >> >> Artur. >> >> >> >>> >>> Abraços, >>> Salhab >>> >>> 2015-09-11 21:54 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo >>> <[email protected]>: >>>> Seja f(x) uma função na variável  x, mas que contenha n na sua >>>> "fórmula" ou na sua expressão.Vou usar a notação aqui de lim para >>>> limite de n tendendo ao infinito, >>>> se lim f(x) =g(x) então vale que lim f '(x)=lim g'(x)?Como posso provar >>>> isso?Eu usei isto em uma demonstração, mas não sei se está >>>> correto...Alguém poderia me ajudar? >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
