Ralph depois de sua resposta, eu estava pensando e cheguei a uma conclusão interessante, talvez eu possa provar que qualquer intervalo de R tem uma bijeção com R, usando funções especiais, mas não sei se o meu raciocínio está correto.Para isto, preciso recorrer a uma função especial, considere uma função especial f(x), cujo domínio seja os reais, se essa função possui um mínimo e um máximo, então sua imagem deve estar definida em um intervalo fechado, e isto prova que há uma bijeção entre R e um intervalo de R, pois o domínio e a imagem devem ser do mesmo "tamanho". Mas por qual motivo uma função que possui um mínimo e um máximo, deve ter sua imagem definida em um intervalo fechado?Isto decorre do fato que qualquer intervalo aberto de R, não possui elementos minimal e maximal.Em outras palavras, qualquer intervalo aberto não pode conter um elemento mínimo ou máximo. Vamos provar isso, suponha, por absurdo, que exista um número k, tal que k seja o menor número que esteja entre dois reais a e b, que aqui representam os extremos do intervalo aberto, logo teremos a<k<b.Mas entre dois reais sempre existe um racional e entre dois reais sempre existe um irracional, logo existe um número k' entre k e a, satisfazendo a<k'<k, o que contradiz a hipótese de que a é o menor elemento desse intervalo, e fim acabou.Para o caso de um elemento máximo a demonstração é análoga. Ralph, este raciocínio prova que há uma bijeção entre R e um intervalo de R?Poderia usar a função que vc definiu, cujo domínio pertence aos reais mas tem máximo e mínimo...Talvez não prove para todos os intervalos de R...Está correto?
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