Uma outra forma de mostrar isto é a seguinte: Se o polinômio P for constante, só pode haver uma raiz porque a exponencial é bijetora.
Se P tiver grau >= 1, quando x tende a oo, a exponencial se "descola" de P, mesmo que este também vá para oo. Logo, o conjunto A das raízes de sua equação é limitado superiormente. Quando x vai para -oo, a exponencial vai para 0 e P para + ou - oo, de modo que as duas curvas se descolam. Assim, A também é limitado inferiormente, logo limitado. Se A for infinito, então, pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, terá um ponto de acumulação em R, logo no domínio de ambas as funções. Como ambas são analíticas (dadas em todo o R por séries de potências), então coincidem em toda a reta real, sendo portanto a mesma função. Mas, pelo que vimos, isto é impossível. Logo, só pode haver um número finito de raízes, A é finito. Se duas funções analíticas em R coincidirem em um conjunto limitado, então são a mesma função. Assim, um argumento similar ao anterior mostra, por exemplo, que, se P não for constante, a equação P(x) = sin(x) têm um número finito de raízes em R. Isto vale também nos complexos. Assim, se P for um polinômio de coeficientes complexos e f(z) = e^(kz), k uma constante complexa não nula, então, em subconjuntos limitados de C, f e P igualam-se em um número finito de pontos. Em subconjuntos infinitos de C, duas funções analíticas pode concordar em um uma infinidade de pontos sem serem a mesma função. O conjunto dos pontos em que se igualam é sempre enumerável (considerando-se conjuntos finitos como enumeráveis). É interessante observar que, se P não for identicamente nulo, então, em todo o C, P e f(z) = e^kz (k não nulo) igualam-se em um conjunto infinito enumerável. E em toda reta de C, igualam-se em um número finito de pontos. Abraços Artur Costa Steiner > Em 03/05/2015, às 00:50, Carlos Gomes <[email protected]> escreveu: > > Olá amigos, > > Será que alguém pode me ajudar com essa? > > Mostre que para qualquer polinômio com coeficientes reais p(x) a equação > e^x=p(x) tem sempre uma quantidade finita de raízes (evidentemente pode não > ter raízes, caso em que a quantidade de raízes é 0 e portanto essa quantidade > é finita inclusive nesse caso). > > Abraço, Cgomes. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
