Fazendo y = 1, temos que f(x) = f(x) + f(1), logo f(1) = 0. Por um raciocínio indutivo simples, verificamos que, para todo x > 0 e todo inteiro positivo n, f(x^n) = n f(x).
Temos também que f(x) = f((x^(1/n))^n) = n f(x^(1/n)). Logo, para todo inteiro positivo n, f(x^(1/n)) = 1/n f(x). Assim, para todo racional r = m/n, f(x^r) = f(x^(m/n)) = m f(x^(1/n)) = m/n f(x) = r f(x). Suponhamos que f se anule para algum u != 1. Seja (r_n) uma sequência de racionais que convirja para o real y. Então, pelas continuidades de f e da função exponencial, temos que lim f(u^r_n) = f(u^y) = lim r_n f(u) = 0 Como u != 1, para todo x > 0, existe y tal que x = u^y. Assim, f(x) = f(u^y) = 0, contrariamente à hipótese de que f não é identicamente nula. Logo, f se anula exclusivamente em 1. Para todo x > 0, f(x . 1/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0. Logo, f(1/x) = -f(x). Disto deduzimos que f(x/y) = f(x) - f(y). Se f(x) = f(y), então f(y) - f(x) = f(y/x) = 0. Logo, x/y = 1 e x = y. Disto concluímos que f é injetora. Logo, f é estritamente crescente ou estritamente decrescente. Suponhamos que f seja estritamente crescente. Como f(1) = 0, para x < 1 temos f(x) < 0 e para x > 1 temos f(x) > 0. Para todo inteiro positivo n temos que f(2^n) = n f(2). Como f(2) > 0, fazendo n --> oo f(2^n) --> oo. Logo, f(x) --> oo com x. E como f(x) = -f(1/x), concluímos que f vai para -oo quando x --> 0+. Isto mostra que a imagem de f é todo o R. Sendo f contínua e estritamente crescente, existe então um único a com f(a) = 1, para o qual a > 1. Por um raciocínio análogo, vemos que, se f for estritamente decrescente, existe um único a, com a < 1, tal que f(a ) = 1. Vemos também que, se a < 1, f é estritamente decrescente; e se a > 1, f é estritamente crescente. Sendo uma bijeção de R+ sobe R, f tem uma inversa g. Como f é contínua, g é contínua. E não é identicamente nula, pois f não é. Sendo u e v reais, existem x e y positivos tais que u = f(x) e v = f(y). Então, g(u + v) = g(f(x) + fy)) = g(f(xy) = xy = g(u) g(v). Assim, g é contínua, não identicamente nula e satisfaz à equação funcional característica das exponenciais. Como f(1) = 0, g(0) = 1. E como f(a) = 1, g(1) = a. Logo, g(y) = a^y, conforme vimos na sua outra mensagem. Isto implica que f(x) = log x (base a). Artur Costa Steiner > Em 23/04/2015, às 18:10, Pedro Chaves <[email protected]> escreveu: > > Caros Colegas, > > Alguém poderia demonstrar o teorema baixo? > > Obrigado. > Pedro Chaves > > TEOREMA - Sendo f (x) uma função real de variável real não identicamente > nula, definida e contínua em R+ e tal que com quaisquer x e y > positivos f (x . y) = f (x) + f (y) , existe um e um só a tal que f (a) = > 1 e além disso, f(x) é o logaritmo de de x na base a. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
