Uma possível prova, seguindo a linha sugerida no livro do Rudin, em um de seus
exercícios, é a seguinte:<br/><br/>Temos que D = D1 U D2, sendo<br/><br/>D1 =
{x | f(x-) < f(x+)} e D2 = {x | f(x-) > f(x+)}<br/><br/>Vamos mostrar que D1 e
D2 são enumeráveis, o que implica que D também seja. Vamos mostrar para D1. O
caso de D2 é similar.<br/><br/>Se D1 for vazio, é enumerável. Se não for,
tomemos um x genérico no mesmo e escolhamos um racional p entre f(x-) e f(x+).
Considerando a definição do limite f(x-) e o fato de que Q é denso em R,
podemos escolher um racional q em (a, x) tal que f(t) < p para t em (q, x).
Aplicando o mesmo raciocínio à direita de x, vemos que existe uma terna (p, q,
r) de racionais, com q em (a, x) e r em (x, b), tais que<br/><br/>f(x-) < p <
f(x+)<br/>q < t < x ==> f(t) < p<br/>x < t < r ==> f(t) > p<br/><br/>Assim, a
cada x de D1 podemos associar uma terna conforme descrito. Vamos agora mostrar
que uma terna (p, q,
r) associada a algum x de D1 não pode ser associada a nenhum elemento de D1
distinto de x.<br/><br/>Suponhamos que (p, q, r) esteja também associada a
algum y de D1 distinto de x. Então y > x ou y < x. Se y > x, então temos que
f(y-) < p < f(y+) e que x < y < r. Assim, q < x < y < r. Se t estiver em (x,
y), então:<br/><br/>Como x < t < r, segue-se da associação a x que f(t) > p;
mas<br/>Como q < t < y, segue-se da associação a y que f(t) < p<br/><br/>Temos
assim uma contradição que mostra que (p, q, r) não pode ser associada a nenhum
y de D1 maior que x. Por um raciocínio similar, vemos que também não pode ser
associada a nenhum y < x de D1. Com isto, construímos uma bijeção entre D1 e um
subconjunto {(p, q, r)} de Q^3. Como Q^3 é enumerável, {(p, q, r)} também é, o
que, pela bijeção, implica que D1 também o seja. <br/><br/>Concluímos, assim,
que D é enumerável.<br/><br/>Agora, este raciocínio não se aplica a
descontinuidades em que o limite exista em x (f(x-) = f(x+)) mas seja
diferente de f(x). Acho que estas descontinuidades não necessariamente formam
um conjunto enumerável.<br/><br/><br/><br/>Artur<a
href="https://overview.mail.yahoo.com?.src=iOS";><br/><br/>Enviado do Yahoo Mail
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acredita-se estar livre de perigo.
