Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o determinante, basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A propriedade é trivialmente verificada para n =1. Suponha-se, apenas para fixar ideias, que todos os termos acima da diagonal secundária seja nulos. Assim, o determinante dado é igual ao elemento a_1,n (a_i,j representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) multiplicado pelo respectivo cofator, já que todos os demais elementos da 1ª linha são nulos. Só que o cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), pelo menor complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste em outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1. Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto dos elementos da diagonal secundária por ((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) = (-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2), tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade. Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é plenamente análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna, para a esquerda, ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. -------------------------------------------- Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[email protected]> escreveu:
Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes Para: [email protected] Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06 Boa noite. Gostaria de um encaminhamento para mostrar que: Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2). Penso que essa potência do (-1) indica uma combinação dois a dois, mas não cheguei a uma conclusão. Obrigado -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
