Para Douglas oliveira e demais interessados
> Date: Mon, 16 Jan 2012 12:46:31 -0200
> Subject: Re: [obm-l] Fobonacci
> From: [email protected]
> To: [email protected]
>
> Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou...
>
> A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci
> pode ser obtida assim:
>
> F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1)
> F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2)
> F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de
> ordem ímpar do lado direito)
>
> Então
>
> F(2n+1)=3F(2n-1)-F(2n-3)
>
> Agora deixa eu ver os "alegados" quadrados. Seriam:
> F(n) 5F(n)^2-4
> 1 1=1^2
> 2 16=4^2
> 5 121=11^2
> 13 841=29^2
> ... ...
>
> Será que a sequencia da direita tem alguma ordem razoável... Digo,
> olhando para 1,4,11,29..., qual é a recorrência? Hmmm, parece que cada
> termo é 3 vezes o anterior menos ao anteanterior, de novo! Bom, mas
> isso tudo é chute, vamos ver se a gente consegue MOSTRAR isso.
>
> TEOREMA: Defina A(0)=1, A(1)=2 e A(n+1)=3A(n)-A(n-1) (n>=2). Defina
> também B(0)=1, B(1)=4 e B(n+1)=3B(n)-B(n-1). Afirmo que:
>
> i) 5A(n)^2-4=B(n)^2
> ii) você já vai ver que preciso de algo mais aqui.
>
> Prova: i) Para n=0 e n=1 é só verificar direto. Por indução, se a
> propriedade vale para n=k e n=k-1, então:
> 5A(k+1)^2-4 = 5(3A(k)-A(k-1))^2-4 = 45A(k)^2-30A(k)A(k-1)+5A(k-1)^2-4
> = (9B(k)^2+36)-30A(k)A(k-1)+B(k-1)^2
>
> Ah, droga, eu não tenho a mínima ideia do que fazer com aquele
> A(k)A(k-1)... Se fosse algo conhecido, razoável.... tipo, eu acho que
> a coisa toda vai dar (3B(k)-B(k-1))^2, né? Para isso valer, eu
> precisava que fosse 36-30A(k)A(k-1)=-6B(k)B(k-1), isto é, eu queria
> que fosse 5A(k)A(k-1)=B(k)B(k-1)+6... Como provar isto? Façamos por
> indução, ora! Então adicione lá no enunciado o seguinte:
>
> ii) 5A(n)A(n-1)=B(n)B(n-1)+6
>
> Esta propriedade claramente vale para n=1 e n=2. Agora o passo de
> indução (note que estou usando (i) com n=k, então a indução é feita
> com (i) e (ii) ao mesmo tempo!):
>
> 5A(k+1)A(k) = 5(3A(k)-A(k-1))A(k) = 15A(k)^2-5A(k)A(k-1) =
> (3B(k)^2+12)-B(k)B(k-1)-6 =
> = 3B(k)^2-B(k)(3B(k)-B(k+1))+6 = B(k)B(k+1)+6
>
> Pronto! Este era o pedaço que faltava para terminar a indução em (i). Acabou!
>
> Abraço,
> Ralph
>
> P.S.: Agora, para DESCOBRIR que estes números funcionam, dê uma olhada
> na teoria de Equação de Pell, que ajuda a resolver coisas do tipo
> 5n^2-4=p^2.
>
> 2012/1/15 marcone augusto araújo borges <[email protected]>:
> > Provar q a equação x^2+y^2+z^2=3xyz tem infinitas soluções inteiras.
> >
> > Essa questão ja foi resolvida na lista
> > Um colega tentou uma soluçao diferente:
> > Fez y=n e z=1,encontrando x^2 - 3nx +n^2 +1=0
> > x= (3n + - raiz(5n^2 - 4))/2
> > 5n^2 - 4 deve ser um quadrado perfeito
> > Tentei mostrar q existem infinitos valores de n para os quais 5n^2 - 4 é um
> > quadrado perfeito e não consegui
> > Mas o colega me informou q para n igual aos termos de ordem impar da
> > sequencia de fibonacci, a referida expressão
> > é um quadrado perfeito(1,2,5,13,34,...)
> > Não sabemos provar
> > Alguem poderia esclarecer?
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
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acredita-se estar livre de perigo.
