[obm-l] Re: [obm-l] Proposta de Metodo para Resolver Certos Problemas de Geometria

Tue, 08 Jul 2014 09:59:27 -0700 


Também existe o problema genérico do hexágono com A+C+E=360 em lugar de
A=C=E=120. Acho que até nome tem esse problema.

Julio Saldaña


------ Mensaje original -------
De : [email protected]
Para : [email protected]
Fecha : Tue, 8 Jul 2014 06:34:20 -0700
Asunto : Re: [obm-l] Proposta de Metodo para Resolver Certos Problemas de 
Geometria

Ola Rogério,

Eu conheço 2 soluções para este problema do pentágono :

1) trace as perpendiculares à diagonal EC, de A, ,B D e M (médio).  Brinque

com os triangulos que surgem.....


2) trace AD e BD, considere P medio de AD e Q medio de BD; agora trabalhe com

os triangulos EPM e CQM.



Agora, vai um desafio que eu "criei" (adaptei):

Considere o hexágono convexo ABCDEF, onde A=C=E= 120 e AB=AF, BC=CD e ED=EF.

Determine o ângulo AEC. 



Se quisermos piorar um pouco as coisas, podemos colocar esse problema do

pentágono dentro desse desafio, e pedir para calcular o angulo que é formado
pela diferença dos ângulos de 45o, do caso do pentagono, para o ângulo desse
problema. Ou seja, para achar o resultado o caboclo teria que resolver 2
problemas "muito bonitinhos" envolvendo ângulo.


Abs
Felipe



Em Quarta-feira, 2 de Julho de 2014 15:33, Rogerio Ponce <[email protected]>

escreveu:




Ola' Felipe,
em relacao ao problema do pentagono que voce descreveu, talvez o enunciado do

problema estivesse incompleto, e o artificio de se levar a construcao a uma
situacao limite nao pudesse ser usado.


Ou seja, teriamos que, primeiramente, provar que o angulo CEM nao depende do

comprimento de AB.



Claro que para responder a uma questao de multipla escolha, vale o metodo -

tambem gosto dessas trapacas! -, mas se fosse uma questao discursiva bem
elaborada, certamente o  enunciado pediria para provar que o angulo seria
constante, independentemente das outras medidas do pentagono.



Entao, maos 'a obra!

Tente provar que o angulo CEM e' constante (e faca o favor de postar a solucao!)


Grande abraco,

Rogerio Ponce





2014-06-26 11:30 GMT-03:00 luiz silva <[email protected]>:

Pessoal,

 
Descobri o seguinte teorema em um EXCELENTE livro de geometria peruano,

que um amigo comprou : dado um quadrilátero convexo qqer, construa 4 quadrados
"externos" ao mesmo, onde cada lado do quadrilatero seja um dos lados
de um dos quadrados. Una os centros dos quadrados opostos. O teorema diz que os
segmentos que unem os centros dos quadrados opostos tem a mesma medida e que o
angulo entre eles é de 90o.. Ainda não consegui demonstra-lo, porem acho que
fiz algo interessante :

- O teorema é válido para qqer media dos lados do quadrilátero. Então,

pequemos um dos lados do quadrilátero e dividamos por 2, assim, teremos um novo
quadrilátero, mas o teorema ainda é válido, faça o mesmo processo neste 
mesmo
lado, indefinidamente. Quando o número de iterações tender a infinito, a 
medida

de um dos lados do quadrilátero irá tender a zero (um ponto). 

 
Ou seja, o quadrilátero

tenderá a se tornar um triângulo, o quadrado referente a esse lado que foi
sendo dividido por dois, torna-se um ponto (o vértice desse triangulo),

porém, ainda

assim, o teorema ainda será válido; só que agora, ao invés de termos os 
centros
de 4 quadrados, teremos o centro de 3 quadrados e o vértice do traingulo.Eu

usei esse mesmo raciocínio para resolver um problema clássico de

ângulos : Dado um pentágono ABCDEF, onde EA=ED e E=90; CB=CD e C=90. Calcular 
o
ângulo CEM, onde M é medio de AB.Da mesma forma que acima, fui reduzindo a

medida do segmento AB, até o

mesmo se tornar um ponto. Quando isso ocorre, os lados se tornam iguais
(quadrado), o segmento EM tende a ser congruente a EA e EC tende a ser a 
diagonal
desse quadrado. Ou seja, o ângulo CEM = 45o.

Creio que possamos validar esse método através da geometria analítica: essas

“propriedades regulares” (cumprimento, ângulos entre retas) são função 
das
coordenadas dos pontos envolvidos no problema. E essas "propriedades regulares"

são descritas por funções contínuas em R.

Ainda não fiz, mas acho que não deve ser difícil demonstrar que esses 
resultados
são válidos mesmo quando um dos cumprimentos envolvidos no problema se reduz a
zero (a um ponto).

Creio que podemos aplicar esse mesmo método para um problema recente proposto

por um colega, problema este que é uma variação desse problema do pentágono.

 
Abs
Felipe
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