On 20-10-2013 16:28, marcone augusto araújo borges wrote:
Quantas matrizes 4 x 4 formadas pelos elementos 1,2,3 e 4 possuem
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em cada linha e em cada coluna todos elementos distintos?
Vou testar uma ideia.
Sabemos que, se trocarmos 1,2,3,4 por qualquer permutação deles, de
forma consistente, obtemos outra matriz que satisfaz o enunciado.
Por exemplo:
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
Substitua 1 por 3 e 3 por 1, mantendo o 2 e o 4:
3 2 1 4
2 3 4 1
1 4 3 2
4 1 2 3
Quando é que duas dessas matrizes seriam iguais? Nunca, pois a primeira
linha já seria diferente. Assim, de uma matriz obteremos outras 4! matrizes.
Assim sendo, eu vou tacitamente aceitar que a primeira linha é '1 2 3
4', e depois multiplicar por 4!.
Mais uma coisa interessante é que podemos permutar as linhas entre si!
Veja a segunda matriz:
1 2 3 4
3 4 1 2
4 3 2 1
2 1 4 3
É óbvio conferir que no caso geral a propriedade se manterá.
Assim, eu posso pensar que a 'borla' da matriz é assim:
1 2 3 4
2 x x x
3 x x x
4 x x x
Basta depois multiplicar por 4! * 3!.
Daqui para diante, me parece que complica um pouquinho...
MAS eu não desconfiaria se a resposta não tiver a ver com permutações
cíclicas, no seguinte sentido:
cada linha é permutação cícilca da primeira.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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