2013/10/4 Luís Lopes <[email protected]>:
> Sauda,c~oes,
Oi Luís,
> Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
> os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a
> teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas.
Exato, mas não necessariamente desta forma.
Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de
grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar
o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.
Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é
bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine
uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de
máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0.
Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
para todos os t da sua parametrização. Daí:
dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0.
Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a
curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt
não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma
equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0.
Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...
Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de
equações simultâneas, que são os resolventes, cf
http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte
de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles
"substituem" uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão
diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se
você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas
possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o "caso particular"
do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve
considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são
polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar
deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a
"eliminação" das variáveis, como calcular, como que os discriminantes
têm a ver com resultantes).
Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 +
y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso,
o "discriminante" é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2)
- 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais.
Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^4+%2B+2y^3+%2B+y^2%29+-+8y+-+4+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29%2C+x%29
Voltando ao seu problema, o WA dá o discriminante:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28%28-s^2y%2Bx^2y%2By^3%29Cos[A]%2B%28-s^2x%2B2sx^2-x^3%2B2sy^2-xy^2%29Sin[A]%2C+x%29
que é de grau 6 (como esperado de uma interseção de uma curva de grau
3 com uma curva de grau 2), mas que tem um fator y^2, que deve
provavelmente ser excluído do problema (certamente, não é o ponto de
máximo!). O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que
passaram pra você.
O mais chato é que o "desenho" da curva CC é meio "feio"
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14+%3D+0+
porque ela tem uma componente que vai pro infinito... Mas talvez seja
ela que você quer ? Para ter uma única solução real?
Além disso, o caso numérico, mais uma vez, dá
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant+%28+%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14%2C+x%29
para o discriminante. Como a gente já sabe que tem um fator y^2, tem
no mínimo 4 soluções. De novo, o WA confirma a resposta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%284+%2849+sqrt%283%29+y^6%2B3300+y^5%2B17600+sqrt%283%29+y^4-247500+y^3-187500+sqrt%283%29+y^2%29%29%2F%2849+sqrt%283%29%29+%3D+0&dataset=
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
(tenho que aprender a botar contas do WA sem que ele faça as contas a
cada vez, mas o problema é que o "Clip" fica apenas o resultado...)
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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