2013/7/28 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x > 1, > |(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - e^(-ex) > claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em [1, oo). Na > realidade, é positiva, pois o integrando é positivo. > > Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre (0, > oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e que > lim x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x = e - 1. Logo, a função é limitada em (0, > 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc obtém > uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é igual à > integral imprópria da função original sobre (0, 1]. > > Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la, não > parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que não dá.
Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular. Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma solução usando resíduos: I = limite eps->0 int_eps^infinito [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame essa integral de I_eps. I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = I_eps_1 - I_eps_2. Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito exp(-y) dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k). Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação anterior) Mas quando eps->0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
