Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta.
Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x.
Assim, se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal.
Assim, ha apenas 3 casos a considerar:
i) x=0 e y=0
ii) x>0 e y>0
iii) x<0 e y<0
O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii)
eh analogo, trocando x e y por -x e -y).
Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao:
x^n-y^n=0 --> (x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0
Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim,
o unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y.
Abraco,
Ralph
2013/6/14 Pedro Chaves <[email protected]>
> Caros Colegas,
>
> Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números
> reais quaisquer e n natural ímpar?
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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