Boa noite. Vou passar aqui as etapas mas ajuda se vc, ao ler, tentar refazer com lapis e papel. A principio, seja o quadrilátero convexo completo BCED com retas suportes dos lados sendo as retas que passam pelos pontos BDA, CEA, BCF e DEF (grupos de três pontos colineares) e seja o ponto M de Miguel. Sendo assim, construímos as circunferências que passam pelos pontos MADE (centro G), MABC (centro J), MECF (centro H) e MDBF (centro I).
Observamos que basta demonstrar que o pentágono MGJIH é inscritível que então teremos demonstrado o que se pede. O argumento é demonstrar, separadamente, que os quadriláteros MGJH e MGIH são inscritíveis, pois tendo ambos três pontos em comum necessariamente estarão na mesma circunferência. Inicialmente vemos que o quadrilátero MADE é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MDE)=Ang(MGH). Da mesma forma MABC é inscritível, logo Ang(MAE)=Ang(MAC)=Ang(MBC)=Ang(MJH). Sendo Ang(MGH)=Ang(MJH), temos que o quadrilátero MGJH é inscritível! Procedendo analogamente conclui-se que o quadrilátero MGIH também é inscritível e logo os pontos M, G, J, I e H pertencem todos a mesma circunferência. CQD AbraçosClaudio Gustavo --- Em qui, 9/5/13, Martins Rama <[email protected]> escreveu: De: Martins Rama <[email protected]> Assunto: [obm-l] Eureka 31 - Teorema de Miquel Para: [email protected] Data: Quinta-feira, 9 de Maio de 2013, 4:56 Caros amigos da lista, o Carlos Yuzo Shine no seu artigo da Eureka 31 propôs a seguinte questão: "Considere um quadrilátero completo. Seja M o seu ponto de Miquel. Prove que: (a) os circuncentros dos quatro triângulos determinados pelo quadrilátero e M estão sobre uma mesma circunferência." Alguma sugestão? []'s Martins Rama. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
