Eu fiz aquilo de calcular na mao as potencias da matriz, e achei o seguinte: pra uma matriz da forma:
a0 0 0 0 0 ... b1 a1 0 0 0 ... 0 b2 a2 0 0 ... 0 0 b3 a3 0 ... A n-esima potencia dela tem como primeira coluna o vetor cuja k-esima (eu to contando a primeira entrada do vetor como sendo k=0) coordenada eh: [soma de todos os monomios de grau n-k em a0, a1, ..., a_k]*(b1 * b2 * ... * b_k). Exemplo: pra n=4 e k=2, fica: (a0^2 + a1^2 + a2^2 + a0*a1 + a0*a2 + a1*a2)*b1*b2. So que quando substitui os dados do problema ( a_k = (k+1)/(m+1), b_k=(m+1-k)/(m+1) ) aparecem umas somas complicadas. Exemplo, pra n=4 e k=2, a resposta eh (1*1 + 1*2 + 1*3 + 2*2 + 2*3 + 3*3)*m*(m-1)/(m+1)^4. Essa soma eh uma soma bi-dimensional (soma de i=1 ate i=3 de (soma de j=i ate j=3 de (i*j))), mas quando k e n-k ficam muito grandes, acaba virando uma soma k-dimensional (ou (n-k)-dimensional, depende de como voce organiza). Tambem nao consegui expressao fechada. Mas pelo menos deu pra isolar a dependencia de m. O resultado eh: [ soma complicada que depende de 'n' e 'k' ] * m*(m-1)*(m-2)*...*(m+1-k)/(m+1)^n abracos 2013/4/22 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Estou pensando. Não consegui uma solução fechada. Abraços. > > Artur Costa Steiner > > Em 22/04/2013, às 11:53, Pedro Angelo <[email protected]> escreveu: > >> Ninuguem? Eu to curioso com esse. Eu sei que eh um processo de markov, >> com essa matriz aqui (m+1)x(m+1) aqui: >> >> 1/(m+1) 0 0 0 ... 0 >> m/(m+1) 2/(m+1) 0 0 ... 0 >> 0 (m-1)/(m+1) 3/(m+1) 0 ... 0 >> ................etc..............etc................ >> 0 .... 0 1 >> >> Tem algum jeito esperto de fazer, ou tem que fazer um bilhao de contas >> mesmo? Eh pra tentar descobrir um padrao nas potencias dessa matriz e >> demonstrar por inducao? Se chamar essa matriz de A, entao a >> probabilidade de haver exatamente k bolas pretas depois de n >> realizacoes eh o valor da primeira coluna e linha k da matriz A^n (a >> primeira linha eh a linha k=0). >> >> 2013/4/20 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >>> Numa caixa vc tem originalmente m bolas brancas iguais. Vc então >>> adiciona uma bola preta e, das m + 1 bolas da caixa, retira uma >>> aleatoriamente. E repete este processo sucessivamente. >>> >>> Qual o menor valor de n para que, após n realizações do processo, >>> a probabilidade de haver k bolas pretas na caixa seja de, pelo menos, p? >>> >>> Abraços. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
