Para o caso da condição de Lipschitz, supondo que f seja diferenciável em I, me ocorreu uma vez o seguinte
1) f' é, conforme se sabe, o limite de uma sequência de funções contínuas. 2) Como R é um espaço de Baire, para toda sequência g_n de funções contínuas em um intervalo I que convirja para uma função g, existe um subintervalo no qual as g_n são uniformemente limitadas por algum M > 0. Logo, g é limitada por M neste subintervalo. 3) de (2) segue-se haver um subintervalo de I no qual f' é limitada por algum M > 0. Logo, neste subintervalo f' é Lipschitz e M é uma constante da condição de Lipschitz. Uma vez eu mostrei esta prova para algumas pessoas e não gostaram. Paciência, não se pode agradar a todos. No caso, não agradei ninguém. Alguns disseram que estava errado, porque sabidamente diferenciabilidade não implica que a função seja localmente Lipschitz. Mas a condição que eu citei não é ser localmente Lipschitz, é mais fraca do que isso. Depois vim a saber que para, haver o subintervalo em que f seja Lipschitz, basta que em cada ponto de I as 4 derivadas de Dini de f sejam finitas. Me enrolei nesta prova, mas acho que tenho uma por contradição. Aliás, nos complexos há uma conclusão interessante. Se f é inteira, então f é Lipschitz em todo conjunto limitado do plano complexo. Abraços Artur Costa Steiner Em 02/03/2013, às 17:50, Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> escreveu: > 2013/3/1 Artur Costa Steiner <[email protected]>: >> 1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos >> f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) >> <= 4ac. > Esse eu ainda tenho que pensar com cuidado. A primeira coisa é reduzir > a g(g(x)) = x^2 + c, mas eu ainda não sei fazer o caso c < 0. > >> 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos >> positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação >> os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então >> >> liminf s_n <= liminf a_n <= limsup a_n <= limsup s_n >> >> É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e >> da esquerda não têm que valer. > Curioso... Eu diria que s_n é uma combinação convexa dos a_n, logo s_N >> = min(a_n, n=1..N) e portanto min(s_N, N=1..k) >= min(min(a_n, > n=1..N), N=1..k) = min(a_n, n=1..k). Claro que tem que fazer "do outro > lado" (no infinito, não no 1) mas eu diria que liminf a_n <= liminf > s_n. Mais tarde tento enviar uma prova dessa soma de "Césaro". > >> 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, >> para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 >> derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um >> subintervalo de I no qual f é Lipschitz. >> Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo >> o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. > Diferenciabilidade cheia = full differentiability = diferenciável no > sentido usual ? (Nunca fiz nada com derivadas de Dini) > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
