2013/1/30 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Eu dei uma prova para isto, mas acho que só vale para funções não negativas. > > Seja f uma função definida e contínua no intervalo finito (a, b] tal que sua > integral imprópria sobre este intervalo exista e seja finita (como f(x) = > 1/raiz(x) em (0, 1], que, no caso, vai para infinito em 0+). Seja (P_n) uma > sequência de partições de [a, b] tal que ||P_n|| --> 0 e (S_n) uma sequência > de somas de Riemann de f sobre [a, b] tal que, em cada intervalo de cada P_n, > f seja tomada no ponto em que, no dado intervalo, f apresente seu valor > mínimo (a continuidade de f garante a existência destes pontos). Mostre que > S_n --> Int (a, b] f(x) dx, integral imprópria.
Oi Artur, o problema é que "f seja tomada no ponto em que, no dado intervalo, f apresente seu valor mínimo" está mal-definido no intervalo da partição contendo a extremidade a, se porventura f -> -infinito em x -> a+. Claro, aposto que isso é irrelevante para a integral, já que, sendo justamente convergente em a, acho que o "peso" da "cauda" infinita em a é zero. Assim, talvez o que você quer seja que || P_n || -> 0 e você começa as somas de Riemann apenas a partir do segundo intervalo. Se o que eu falei está certo, acho que não precisa considerar que f seja contínua: basta saber que toda soma de Riemann associada a P_n será maior do que a associada à função constante por partes e que vale o ínfimo de f em cada um dos segmentos, excluído o primeiro, que não entra na história. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
