Vamos lá.. Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica de período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro de q, ou seja, r/q é irracional.
Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x) para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela suposição que você fez. Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) = f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b, f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo! Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver. 2013/1/18 Artur Costa Steiner <[email protected]>: > Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não. > > Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. Então, > f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos mínimos de f > e de g for racional. > > A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e q os > períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n inteiros > positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A que converge > para x, e isso acaba nos mostrando que > > lim k --> oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x) > > Mas disto não se conclui que f + g não é periódica. > > Abraços > > Artur Costa Steiner > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
