Deve ser nível <= 3 porque é teste :) Mas os números são tão "desiguais" que dá pra usar uma aproximação beeem mais simples com os logs. Acho que só precisaria saber que log é função injetiva crescente (ou seja, pode "mandar" log dos dois lados da desigualdade :P)
Começando com n^log n < (log n)^n: log(n^log n) < log((log n)^n) (log n)^2 < n (log (log n)) Usando log 2010 < 4, o lado esquerdo fica: (log n) * (log n) = (2010 log 2010)^2 < (2010 * 4)^2 = 2010^2 * 16 Usando log 2010 > 3, o lado direito fica: n (log (log n)) = 2010^2010 log (2010 log 2010) > 2010^2010 log (2010 * 3) > (2010^2010) * 3 e (2010^2010) * 3 = (2010^2) * (2010^2008) * 3. Juntando os resultados sai a primeira desigualdade. A segunda dá pra fazer assim: log((log n)^n) < log(n!) n (log (log n)) < log 1 + log 2 + ... + log n Agora separamos só os maiores termos do lado direito: log 1 + log 2 + ... + log n > log(n/2) + log(n/2 +1) + ... + log n > n/2 * log(n/2) Voltando para a desigualdade original: n (log (log n)) < n/2 * log(n/2) 2 log(log n) < log n + log(1/2) E usando log 1/2 > - 1 temos: 2 log(log n) < log n - 1 Substituindo os valores: Lado esquerdo: 2 log(log n) = 2 log(2010 log 2010) < 2 log(2010 * 4) < 2 * 4 = 8 Lado direito: log n - 1 = 2010 log 2010 - 1 > 2010 * 3 - 1 Se não errei nenhuma conta, acho que é isso. []s 2012/2/24 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> > 2012/2/24 Mauricio barbosa <[email protected]>: > > Sendo n=2010^2010 e log n é igual ao número m tal que 10^m = n, então: > > > > a) n! < n^log n < (log n)^n > > b) n^log n < n! < (log n)^n > > c) (log n)^n < n^log n < n! > > d) (log n)^n < n! < n^log n > > e) n^log n < (log n)^n < n! > > > > A resposta certa é letra e. Como mostrar isso? > Eu diria que a primeira coisa é mostrar que a^b < b^a quando a > b > > exp(1), digamos por derivada. Isso decide a primeira desigualdade. > Depois, para (log n)^n e n!, eu usaria Stirling + log: > > log( (log n)^n ) = n * log (log(n)) > log (n! ) ~ (n + 1/2)*log(n) - n, e você ganha no log(n) >> log log n > > Mas eu não sei o contexto exato. Por exemplo, tudo isso não rola se > for nível <= 3... > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
