2012/1/20 Artur Costa Steiner <[email protected]>:
> Boa noite, amigos. Eu tenho uma dúvida.
Bom dia Artur. Há quanto tempo!
> Seja f uma função complexa holomorfa em um conjunto aberto V perfurado em w.
> Suponhamos que a integral de f ao longo de um círculo contido em V e centro
> em w não seja nula. Isto implica que f seja da forma
>
> f(z) = k/(z - w) para z em V, k uma constante não nula?
Bom, dada a formulação, é claro que a gente pode supor que V = disco
unitário, w = 0. Pela fórmula de Cauchy em V, temos que
f(z) = soma a_n z^n
onde os índices vão de -infinito a + infinito por conta da perfuração em 0.
Por outro lado, a condição sobre a integral ser diferente de zero quer dizer que
integral soma a_n e^{int} != 0.
Nessas horas da vida, é complicado trocar a soma com a integral, mas
acho que a gente não vai se preocupar muito com as condições de
convergência... Assim, chutando que a gente pode inverter os limites,
temos que
soma a_n integral 0 a 2pi e^{int} != 0
e a única integral não nula na história é para n = 0, logo a_0 != 0.
Repare que isso não quer dizer que a_n = 0 para os outros n... Poderia
ser qualquer coisa.
Mas peraí. Você queria um treco com a_(-1), e eu achei a_0...
Estranho? Não, normal. Eu (nesse momento) estou integrando funções
complexas em círculos, mas a integral "normal" em análise complexa não
é "apenas" por elemento de ângulo, mas sim por dz = d(re^{it}) = i r
e^{it} dt = iz dt, onde dt é o meu elemento de ângulo. Eu imagino que
seja essa a integral que você considera (mas veja bem qual é o caso).
De qualquer forma, isso resolve o problema do "shift" -1 -> 0 como
você quer, mas ainda assim a função f pode ter todos os a_n não nulos.
(e pegue a_n ~ 1/n^2 para garantir convergência absoluta e poder
trocar a integral, por exemplo).
Não sei se você queria provar um resíduo (mas aí é só a definição),
mas para garantir que f = 1/z você precisa de uma boa quantidade de
condições... Umas idéias: Liouville pode ajudar a "matar" os
coeficientes a_n para n > 0 se o seu domínio for suficientemente legal
(tipo, C) ou variantes do tipo Phragmén-Lindelöf. Já eliminar pólos de
ordem superior pode ser feito se você souber (por exemplo) que a sua
função é L^1 no disco (porque 1/z é integrável em C, mas 1/z^n não é
mais para z >= 2 = dimensão !)
> Obrigado.
> Artur
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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