Oi Douglas, resolvi o problema mas não sei se a minha solução é mais simples que
a sua. Acho um pouco complicada, tal vez exista uma solução melhor.
Primeiro vou resumir alguns resultados trivias que você deve ter obtido no
início:
<RDT=<TCS=45
<RPS=<DTC
Para demonstrar que RPST é inscriptivel, basta demonstrar que <RPS+<RTS=180, ou
seja basta demonstrar que <RTS+<DTC=180 ou seja, basta demonstrar que
<RTD+<CTS=180.
O procedimento vai ser achar outro ángulo na figura igual a <RTD e outro igual a
<CTS e provar que a soma desses novos 2 ángulos é 180.
Trace uma linha paralela a AD passando por T. Seja M o ponto de interseção dessa
linha com a diagonal BD. Então <TMC=45 (=RDT), logo o quadrilátero DRMT é
inscriptível, portanto <DMR=<RTD. Prono, achamos outro ángulo igual a RTD.
Similarmente, se N é ponto de corte entre aquela linha paralela a AD e a
diagonal AC, então <CNS=<CTS.
Agora devemos provar que <DMR+<CNS=180. Este problema é mais fácil. Sugiro fazer
um novo desenho só para este novo problema.
Temos o quadrado ABCD, e uma linha paralela a AD que corta em M à diagonal AC e
em N à diagonal BD. Chamemos de P e Q os pontos de BC e AB que cortam a essa
linha que passa por M e N. Bom, o problema agora é demostrar que AMD e CNB somam
180. Note que: AMD=45+PDM, e CNB=45+PCN então AMD+CNB=90+PDM+PCM. Vou provar que
os triângulos PDM e PNC são congruentes e portanto PDM+PCM=90. Vamos lá:
chamemos PD=a e PC=b, então AQ=a, então QM=a, e como o lado do quadrado é a+b
então PM=b. Similarmente: BQ=b então NQ=b então PN=a, então fica provado que os
triângulos BMP e PCN são congruentes, logo PDM+PCM=90, logo
AMD+CNB=90+PDM+PCM=180, logo <RTD+<CTS=180 logo RPST é inscriptivel
Me desculpe o portunhol, se algum passo não tiver ficado claro, me avise.
Julio Saldaña
------ Mensaje original -------
De : [email protected]
Para : [email protected]
Fecha : Mon, 05 Sep 2011 19:03:50 -0300
Asunto : Fwd: [obm-l] Problema de Geometria(difícil)
-------- Original Message --------
SUBJECT:
[obm-l] Problema
de Geometria(difícil)
DATE:
Sun, 04 Sep 2011 11:11:26
-0300
FROM:
[email protected]
TO:
REPLY-TO:
[email protected]
Olá gostaria de uma ajuda no seguinte problema ,
tentei por alguns caminhos, muito trabalhosos, mas que deu certo, não
vou comentar a minha forma de resolução para que tenha criatividade nos
pensamentos, eu estava interessado na forma de resolução por plana!!! ai
vai:
Dado um quadrado ABCD e um ponto P pertencente ao lado AB , sendo
R o incentro do triângulo APD, S o incentro do triângulo PBC, e T o
incentro do triângulo PCD, mostre que o quadrilátero RPST é inscritível.
E obrigado!!!!!
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