"um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer" Os vértices do quadrilátero são os pontos médios dos lados do trapézio. []'sJoão
Date: Wed, 20 Apr 2011 23:10:44 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) From: [email protected] To: [email protected] Não entendi bem sua solução, João. Pelo que diz o enunciado, os vértices do trapézio são os pontos médios de um quadrilátero convexo. Da maneira como você fez, parece que você considerou o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados do trapézio. É isso mesmo, ou estou enganado? Abs. Hugo. Em 20 de abril de 2011 20:38, João Maldonado <[email protected]> escreveu: Na verdade basta provar que os lados opostos são iguais, automaticamente serão paralelos.Todo uqadrilátero com lados opostos iguais é um paralelogramo. Prova:Faça dois lados (a e b) de um quadrilátero qualquer saindo de um vértice V. Para que os lados opostos sejm iguais podemos traçar uma circunferência a partir do fim dos lados a e b, com raio igual ao lado oposto. Desse modo teríamos 2 circunferências, que se intersectam em 2 pontos. Um dos pontos gera uma configuração de quadrilátero não convexo, a outra gera um quadrilátero convexo. Logo os lados são paralelos. Mas voltando ao problema, Fazendo o trapézio ABCD com lados paralelos AB e CD. Os pontos médios de AB=X, BC=Y, CD=Z, DA=W. A altura do trapézio h que parte de A intersecta CD em P e a altura do trapézio que parte de B instersecta CD em Q (neste caso fazendo P e Q dentro do segmento CD (fica para você provar quando um está fora). Chamando AB/2 de d, PD de a e QC de b, temos que: 1) Em relação a CD, a coordenada y de W é h/2, e a coordenada x é (2d+a+b)/2 - a/2 = d+b/22) Em relação a AB (que é paralela a CD), logo em relação a CD, a coordenada y de W é h/2 e a coordenada x é d+b/2, logo os Ângulos formados com AB são iguais e as retas WZ e XY são paralelas e de mesma medida Analogamente para YZ e WX. Logo se trata de um paralelogramo []'s João From: [email protected] To: [email protected] Subject: [obm-l] Olimpíadas cearenses(geometria) Date: Wed, 20 Apr 2011 22:06:10 +0000 Prove que um quadrilatero convexo cujos vertices sao os pontos medios dos lados de um trapezio qualquer é um paralelogramo Bastaria provar que dos lados opostos são paralelos e congruentes?
